20． 江蘇通州市高三第三次統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)答卷第Ⅱ部分 加試內(nèi)容 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（本題滿分18分，其中第1小題5分，第2小題5分，第3小題8分）

在平面直角坐標(biāo)系中，已知為坐標(biāo)原點，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，其中且.設(shè).

（1）若，，，求方程在區(qū)間內(nèi)的解集；

（2）若點是過點且法向量為的直線上的動點.當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的值域為集合，不等式的解集為集合. 若恒成立，求實數(shù)的最大值；

（3）根據(jù)本題條件我們可以知道，函數(shù)的性質(zhì)取決于變量、和的值. 當(dāng)時，試寫出一個條件，使得函數(shù)滿足“圖像關(guān)于點對稱，且在處取得最小值”.（說明：請寫出你的分析過程.本小題將根據(jù)你對問題探究的完整性和在研究過程中所體現(xiàn)的思維層次，給予不同的評分.）

 

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 （本題滿分18分）（理）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．

已知函數(shù)是圖像上的兩點，橫坐標(biāo)為的點滿足（為坐標(biāo)原點）.

（1）求證：為定值；

（2）若，

求的值；

（3）在(2)的條件下，若，為數(shù)列的前項和，若對一切都成立，試求實數(shù)的取值范圍.

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（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（2）小題8分）

已知雙曲線C：的一個焦點是，且。

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設(shè)經(jīng)過焦點的直線的一個法向量為，當(dāng)直線與雙曲線C的右支相交于不同的兩點時，求實數(shù)的取值范圍；并證明中點在曲線上。

（3）設(shè)（2）中直線與雙曲線C的右支相交于兩點，問是否存在實數(shù)，使得為銳角？若存在，請求出的范圍；若不存在，請說明理由。

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  (本題滿分18分，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分)

已知函數(shù)，其中.

(1)當(dāng)時，設(shè)，，求的解析式及定義域；

(2)當(dāng)，時，求的最小值；

(3)設(shè)，當(dāng)時，對任意恒成立，求的取值范圍.

 

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（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）

在平行四邊形中，已知過點的直線與線段分別相交于點。若。

（1）求證：與的關(guān)系為；

（2）設(shè)，定義函數(shù)，點列在函數(shù)的圖像上，且數(shù)列是以首項為1，公比為的等比數(shù)列，為原點，令，是否存在點，使得？若存在，請求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

（3）設(shè)函數(shù)為上偶函數(shù)，當(dāng)時，又函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱， 當(dāng)方程在上有兩個不同的實數(shù)解時，求實數(shù)的取值范圍。

 

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一、填空題：

1． ，均有x 2+ x +1≥0  2．第一象限  3．充分而不必要條件  4． 0.01

5． 4   6． 2550   7．    8．①④  9．  R(S1＋S2＋S3＋S4)

10． ，11．   12．1  13．  14．

二、解答題：

15．（Ⅰ）因為各組的頻率和等于1,故第四組的頻率：

     3′

直方圖如右所示        6′

（Ⅱ）依題意，60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，頻率和為 所以，抽樣學(xué)生成績的合格率是%..       9 ′

利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分

＝

＝71

估計這次考試的平均分是71分                                            12′      

16.（1）證明:連結(jié)BD.

在長方體中，對角線.

又 E、F為棱AD、AB的中點，

 .

 .                           

又B1D1平面，平面，

  EF∥平面CB1D1.                       6′

（2） 在長方體中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，

 AA1⊥B1D1.

又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

 B1D1⊥平面CAA1C1.                 

又 B1D1平面CB1D1，

*平面CAA1C1⊥平面CB1D1．                    13′

17． （1）由得                  4′

       由正弦定理得

             

                                       6′

                    8′

 （2）

     =                                  10′

 =                                          12′

  由（1）得

                            15′

18．（1）設(shè)C：＋＝1（a>b>0），設(shè)c>0，c2＝a2－b2，由條件知a-c＝，＝，

∴a＝1，b＝c＝，

故C的方程為：y2＋＝1　                  5′

（2）由＝λ，

∴λ＋1＝4，λ＝3　或O點與P點重合=              7′

當(dāng)O點與P點重合=時，m=0

當(dāng)λ＝3時，直線l與y軸相交，則斜率存在。

設(shè)l與橢圓C交點為A（x1，y1），B（x2，y2）

得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0

Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）

x1＋x2＝， x1x2＝　                          11′

∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴

消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0

 

整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　                         13′

m2＝時，上式不成立；m2≠時，k2＝，

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1

容易驗證k2>2m2－2成立，所以（*）成立

即所求m的取值范圍為（－1，－）∪（，1）∪｛0｝                 16′

19． ⑴由題意得                  4′

（n≥2），

又∵，

數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列。        8′

[則（）]

⑵由及得

，                                   11′

則          13′

 

                                               16′

20． （1）設(shè)

                ∴     ∴

           由

           又∵    ∴    

∴                               6′ 

           于是

由得或；   由得或

           故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)減區(qū)間為和                              10′

（2）證明:據(jù)題意且x1<x2<x3,

由(1)知f (x1)>f (x2)>f (x3),

          14′

即ㄓ是鈍角三角形．                                            18′

 

 

 

 

第Ⅱ部分  加試內(nèi)容

一．必答題：

1．（1）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，由題意知                       4′

   （2）ξ可取1，2，3，4.

    ，

    ；    8′

    故ξ的分布列為

ξ

1

2

3

4

P

                                                             

   

答：ξ的數(shù)學(xué)期望為                                      10′

2．（1）由得，

求得                               3′

（2）猜想                                     5′

證明：①當(dāng)n=1時，猜想成立。                            6′

②設(shè)當(dāng)n=k時時，猜想成立，即，      7′

則當(dāng)n=k+1時，有，

所以當(dāng)n=k+1時猜想也成立                                9′

③綜合①②，猜想對任何都成立。                  10′

二、選答題：

3．（1）∵DE2=EF?EC，

          ∴DE : CE=EF: ED．

          ∵ÐDEF是公共角，

          ∴ΔDEF∽ΔCED．  ∴ÐEDF=ÐC．

          ∵CD∥AP，    ∴ÐC=Ð P．

          ∴ÐP=ÐEDF．----5′

（2）∵ÐP=ÐEDF，    ÐDEF=ÐPEA，

     ∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．

∵弦AD、BC相交于點E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP．   10′

4．（矩陣與變換）

解：．

，                                                5′

橢圓在的作用下的新曲線的方程為         10′

5．（1）直線的參數(shù)方程為，即．         5′

   （2）把直線代入，

得，，
則點到兩點的距離之積為．                   10′

6．

        7′

當(dāng)且僅當(dāng)  且

 F有最小值                                         10′

 

 


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