(一)知識梳理 1.把稱為a.b的算術(shù)平均數(shù).稱為a.b的幾何平均數(shù).因而.二元均值定理可以敘述為:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).如果把看作是正數(shù)a.b的等差中項(xiàng).看作是正數(shù)a.b的等比中項(xiàng).那么二元均值定理還可以敘述為:兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng) 2.一般的數(shù)學(xué)中的定理.公式揭示了若干量之間的本質(zhì)關(guān)系.但不能定格于某一種特殊形式.因此不等式a+b≥2ab的形式可以是a≥2ab-b.也可以是ab≤.還可以是a+≥2b .≥2b-a等.解題時(shí)不僅要利用原來的形式.而且要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等.以便靈活運(yùn)用. 3.盡管二元均值定理的應(yīng)用范圍極廣.推論和相關(guān)結(jié)論也很多.但其本身終究是由不等式的意義.性質(zhì)推導(dǎo)出來的.凡是用它可以獲證的不等式.均可以直接根據(jù)不等式的意義.性質(zhì)證得.因此.在算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理的應(yīng)用中.不可忽視不等式的意義.性質(zhì)等概念在處理有關(guān)不等式論證方面的根本作用. 4.二元均值不等式不但可以處理兩個(gè)正數(shù)的和與積結(jié)構(gòu)的不等式.結(jié)合不等式的性質(zhì)還可以處理兩個(gè)正數(shù)的平方和.倒數(shù)和與其它變形式的結(jié)構(gòu).由公式a+b≥2ab和≥可以得到以下幾個(gè)重要結(jié)論: ① a+b≥-2ab (當(dāng)且僅當(dāng)a = -b時(shí)取“= 號), ② a+b≥2|ab| (當(dāng)且僅當(dāng)| a | = | b |時(shí)取“= 號), ③ a+b≥-2|ab| (當(dāng)且僅當(dāng)a = b= 0時(shí)取“= 號), ④ ≤≤≤ (a.b都是正數(shù).當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)等號成立). 5.二元均值不等式還能處理幾個(gè)正數(shù)的平方和與和結(jié)構(gòu).倒數(shù)和與和結(jié)構(gòu).根式和與和結(jié)構(gòu)及兩兩之積與和結(jié)構(gòu)等不等式問題.但在處理這些結(jié)構(gòu)型的不等式時(shí).要注意與其它依據(jù)相結(jié)合來處理.常見結(jié)構(gòu)的不等式的處理方法歸納如下: ⑴ab+bc+ca與a+b+c型 利用= a+b+c+2ab+2bc+2ca與a+b+c≥ab+bc+ ca相結(jié)合, ⑵a+b+c與a+b+c型 利用a+b+c≥ab+bc+ca乘以2再加上a+b+c即可, ⑶++與a+b+c型 只要在⑵中每個(gè)字母開方代換即可. 6.利用均值定理可以求函數(shù)或代數(shù)式的最值問題: ⑴當(dāng)a.b都為正數(shù).且ab為定值時(shí).有a+b≥ .當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“= 號.此時(shí)a+b有最小值, ⑵當(dāng)a.b都為正數(shù).且a+b為定值時(shí).有ab≤ .當(dāng)且僅當(dāng) a = b時(shí)取“= 號.此時(shí)ab有最大值. 以上兩類問題可簡稱為“積大和小 問題. 7.創(chuàng)設(shè)應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理使用的條件.合理拆分項(xiàng)或配湊 因式是經(jīng)常用的解題技巧.而拆與湊的過程中.一要考慮定理使用的條件,二要考慮必須使和或積為定值,三要考慮等號成立的條件(當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“= 號).它具有一定的靈活性和變形技巧.高考中常被設(shè)計(jì)為一個(gè)難點(diǎn). 8.二元均值定理具有將“和式 轉(zhuǎn)化為“積式 和將“積式 轉(zhuǎn)化為“和 式 的放縮功能.若所證不等式可變形成一邊為和.另一邊為積的形式.則可以考慮使用這一定理把問題轉(zhuǎn)化.其中“一正二定三相等 在解題中具有雙重功能.即對條件的制約作用.又有解題的導(dǎo)向作用. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

某中學(xué)舉辦“上海世博會”知識宣傳活動,現(xiàn)場的“抽卡有獎(jiǎng)游戲”特別引人注目,游戲規(guī)則是:盒子中裝有8張形狀大小相同的精美卡片,卡片上分別印有“世博會吉祥物海寶”或“世博會會徽”,要求兩人一組參加游戲,參加游戲的兩人從盒子中輪流抽取卡片,一次抽1張,抽取后不放回,直到兩人中的一人抽到“世博會會徽”卡得獎(jiǎng)才終止游戲.
(Ⅰ)游戲開始之前,一位高中生問:“盒子中有幾張‘世博會會徽’卡?”主持人說:“若從盒中任抽2張卡片不都是‘世博會會徽’卡的概率為
2528
”請你回答有幾張“世博會會徽”卡呢?
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,甲、乙兩人參加游戲,雙方約定甲先抽取乙后抽取,求甲獲獎(jiǎng)的概率.

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甲、乙兩人參加奧運(yùn)知識競賽,假設(shè)甲、乙兩人答對每題的概率分別為
2
3
3
5
,且答對一題得1分,答不對得0分.
(I)甲、乙兩人各答一題,求兩人得分之和ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(II)甲、乙兩人各答兩題,每人每答一題記為一次,求這四次答題中至少有一次答對的概率.

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某學(xué)校為了增強(qiáng)學(xué)生對消防安全知識的了解,舉行了一次消防安全知識競賽.其中一道題是連線題,要求將3種不同的消防工具與它們的用途一對一連線,規(guī)定:每連對一條得2分,連錯(cuò)一條扣1分,參賽者必須把消防工具與用途一對一全部連起來.

(Ⅰ)設(shè)三種消防工具分別為,其用途分別為,若把連線方式表示為,規(guī)定第一行的順序固定不變,請列出所有連線的情況;

(Ⅱ)求某參賽者得分為0分的概率.

 

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某學(xué)校為了增強(qiáng)學(xué)生對消防安全知識的了解,舉行了一次消防安全知識競賽.其中一道題是連線題,要求將3種不同的消防工具與它們的用途一對一連線,規(guī)定:每連對一條得2分,連錯(cuò)一條扣1分,參賽者必須把消防工具與用途一對一全部連起來.
(Ⅰ)設(shè)三種消防工具分別為,其用途分別為,若把連線方式表示為,規(guī)定第一行的順序固定不變,請列出所有連線的情況;
(Ⅱ)求某參賽者得分為0分的概率.

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(本題滿分13分)
  甲、乙兩人同時(shí)參加某電臺舉辦的有獎(jiǎng)知識問答。約定甲,乙兩人分別回答4個(gè)問題,答對一題得1分,不答或答錯(cuò)得0分,4個(gè)問題結(jié)束后以總分決定勝負(fù)。甲,乙回答正確的概率分別是,且不相互影響。求:
(1) 甲回答4次,至少得1分的概率;
(2) 甲恰好以3分的優(yōu)勢取勝的概率。

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同步練習(xí)冊答案