原理:天體對(duì)它的衛(wèi)星的引力就是衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力． G=mr.由此可得:M=,ρ=== 由上式可知.只要用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)出衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r及運(yùn)行周期T.就可以算出天體的質(zhì)量M．若知道行星的半徑則可得行星的密度 規(guī)律方法 1.萬有引力定律的基本應(yīng)用 [例1]如圖所示.在一個(gè)半徑為R.質(zhì)量為M的均勻球體中.緊貼球的邊緣挖去一個(gè)半徑為R/2的球形空穴后.對(duì)位于球心和空穴中心連線上.與球心相距d的質(zhì)點(diǎn)m的引力是多大? 分析 把整個(gè)球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力看成是挖去的小球體和剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力之和.即可得解． 解 完整的均質(zhì)球體對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)m的引力 這個(gè)引力可以看成是:m挖去球穴后的剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力F1與半徑為R/2的小球?qū)︐|(zhì)點(diǎn)的引力F2之和.即F=F1+F2．因半徑為R/2的小球質(zhì)量M/為. 則 所以挖去球穴后的剩余部分對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)m的引力 說明 (1)有部分同學(xué)認(rèn)為.如果先設(shè)法求出挖去球穴后的重心位置.然后把剩余部分的質(zhì)量集中于這個(gè)重心上.應(yīng)用萬有引力公式求解．這是不正確的．萬有引力存在于宇宙間任何兩個(gè)物體之間.但計(jì)算萬有引力的簡(jiǎn)單公式卻只能適用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)或均勻球體.挖去球穴后的剩余部分已不再是均勻球了.不能直接使用這個(gè)公式計(jì)算引力． (2)如果題中的球穴挖在大球的正中央.根據(jù)同樣道理可得剩余部分對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)m的引力 上式表明.一個(gè)均質(zhì)球殼對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)的引力跟把球殼的質(zhì)量集中于球心時(shí)對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力一樣． [例2]某物體在地面上受到的重力為160 N.將它放置在衛(wèi)星中.在衛(wèi)星以加速度a＝½g隨火箭加速上升的過程中.當(dāng)物體與衛(wèi)星中的支持物的相互壓力為90 N時(shí).求此時(shí)衛(wèi)星距地球表面有多遠(yuǎn)?(地球半徑R＝6.4×103km,g取10m/s2) 解析:設(shè)此時(shí)火箭上升到離地球表面的高度為h.火箭上物體受到的支持力為N,物體受到的重力為mg/.據(jù)牛頓第二定律．N-mg/=ma--① 在h高處mg/＝--② 在地球表面處mg=--③ 把②③代入①得 ∴=1.92×104 km. 說明:在本問題中.牢記基本思路,一是萬有引力提供向心力.二是重力約等于萬有引力． [例3]有人利用安裝在氣球載人艙內(nèi)的單擺來確定氣球的高度.已知該單擺在海平面處的周期是T0.當(dāng)氣球停在某一高度時(shí).測(cè)得該單擺周期為T.求該氣球此時(shí)離海平面的高度h.把地球看作質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體. 解析:根據(jù)單擺周期公式:其中l(wèi)是單擺長(zhǎng)度.g0和g分別是兩地點(diǎn)的重力加速度.根據(jù)萬有引力公式得其中G是引力常數(shù).M是地球質(zhì)量. 由以上各式解得 [例4]登月火箭關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)在離月球表面112 km的空中沿圓形軌道運(yùn)動(dòng).周期是120.5 min,月球的半徑是1740 km,根據(jù)這組數(shù)據(jù)計(jì)算月球的質(zhì)量和平均密度． 解析:設(shè)月球半徑為R.月球質(zhì)量為M.月球密度為ρ.登月火箭軌道離月球表面為h.運(yùn)動(dòng)周期為T.火箭質(zhì)量為m.由GMm/r2=m4π2r/T2得M=4π2r3/(GT2).ρ=M/V.其中V=4π2R3/3.則F向=mω2r=m4π2(R+h)/T2.F引=GMm/(R+h)2.火箭沿軌道運(yùn)行時(shí)有F引=F向.即GMm/(R+h)2= m4π2(R+h)/T2 故M=4π2(R+h)3/(GT2)2=7.2×1022kg,ρ=3M/4πR3=3.26×103kg/m3 [例5]已知火星上大氣壓是地球的1/200．火星直徑約為球直徑的一半.地球平均密度ρ地=5.5×103kg/m3.火星平均密度ρ火=4×103kg/m3．試求火星上大氣質(zhì)量與地球大氣質(zhì)量之比． 分析 包圍天體的大氣被吸向天體的力．就是作用在整個(gè)天體表面的大氣壓力．利用萬有引力算出火星上和地球上的重力加速度之比.即可算出它們的大氣質(zhì)量之比． 解 設(shè)火星和地球上的大氣質(zhì)量.重力加速度分別為m火.g火.m地.g地.火星和地球上的大氣壓分別為據(jù)萬有引力公式.火星和地球上的重力加速度分別為 綜合上述三式得 [例6]一個(gè)宇航員在半徑為R的星球上以初速度v0豎直上拋一物體.經(jīng)ts后物體落回宇航員手中．為了使沿星球表面拋出的物體不再落回星球表面.拋出時(shí)的速度至少為多少? 解析:物體拋出后.受恒定的星球引力作用.做勻減速運(yùn)動(dòng).遵循著在地面上豎直上拋時(shí)的同樣規(guī)律．設(shè)星球?qū)ξ矬w產(chǎn)生的“重力加速度 為gx.則由豎直上拋運(yùn)動(dòng)的公式得為使物體拋出后不再落回星球表面.應(yīng)使它所受到的星球引力正好等于物體所需的向心力.即成為衛(wèi)星發(fā)射了出去..這個(gè)速度即是這個(gè)星球上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度. [例7]在“勇氣 號(hào)火星探測(cè)器著陸的最后階段.著陸器降落到火星表面上.再經(jīng)過多次彈跳才停下來. 假設(shè)著陸器第一次落到火星表面彈起后.到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)高度為h.速度方向是水平的.速度大小為v0.求它第二次落到火星表面時(shí)速度的大小.計(jì)算時(shí)不計(jì)大氣阻力.已知火星的一個(gè)衛(wèi)星的圓軌道半徑為r.周期為T.火星可視為半徑為r0的均勻球體. 分析:第一次落到火星表面彈起在豎直方向相當(dāng)于豎直上拋.在最高點(diǎn)由于只有水平速度故將做平拋運(yùn)動(dòng).第二次落到火星表面時(shí)速度應(yīng)按平拋處理.無論是豎直上拋還是平拋的計(jì)算.均要知道火星表面的重力加速度g/.利用火星的一個(gè)衛(wèi)星的相關(guān)數(shù)據(jù)可以求出g/. 解:設(shè)火星的一個(gè)衛(wèi)星質(zhì)量為m.任一物體的質(zhì)量為m/.在火星表面的重力加速度為g/.火星的質(zhì)量為M. 任一物體在火星表面有:--① 火星的衛(wèi)星應(yīng)滿足:--② 第一次落到火星表面彈起在豎直方向滿足:v12＝2g/h--③ 第二次落到火星表面時(shí)速度應(yīng)按平拋處理:--④ 由以上4式可解得2.討論天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基本思路 基本方法:把天體的運(yùn)動(dòng)看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng).其所需向心力由萬有引力提供. [例8]2000年1月26日我國(guó)發(fā)射了一顆同步衛(wèi)星.其定點(diǎn)位置與東經(jīng)980的經(jīng)線在同一平面內(nèi)．若把甘肅省嘉峪關(guān)處的經(jīng)度和緯度近似為東經(jīng)980和北緯α＝400.已知地球半徑R.地球自轉(zhuǎn)周期T,地球表面重力加速度g和光速c.試求該同步衛(wèi)星發(fā)出的微波信號(hào)傳到嘉峪關(guān)處的接收站所需的時(shí)間(要求用題給的已知量的符號(hào)表示)． 解析:設(shè)m為衛(wèi)星質(zhì)量.M為地球質(zhì)量.r為衛(wèi)星到地球中心的距離.ω為衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度．由萬有引力定律和牛頓定律有.式中G為萬有引力恒量.因同步衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等.有ω=2π/T,因.得GM=gR2． 設(shè)嘉峪關(guān)到同步衛(wèi)星的距離為L(zhǎng).如圖所示.由余弦定律得: 所求的時(shí)間為t＝L/c． 由以上各式得 [例9]在天體運(yùn)動(dòng)中.將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星.它們?cè)谙嗷サ娜f有引力作用下間距保持不變.并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng).如果雙星間距為L(zhǎng).質(zhì)量分別為M1和M2.試計(jì)算:雙星的運(yùn)行周期,(3)雙星的線速度. 解析:因?yàn)殡p星受到同樣大小的萬有引力作用.且保持距離不變.繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng).所以具有周期.頻率和角速度均相同,而軌道半徑.線速度不同的特點(diǎn). (1)根據(jù)萬有引力定律 可得: (2)同理.還有 所以.周期為 (3)根據(jù)線速度公式. [例10]興趣小組成員共同協(xié)作.完成了下面的兩個(gè)實(shí)驗(yàn):①當(dāng)飛船停留在距X星球一定高度的P點(diǎn)時(shí).正對(duì)著X星球發(fā)射一個(gè)激光脈沖.經(jīng)時(shí)間t1后收到反射回來的信號(hào).此時(shí)觀察X星球的視角為θ.如圖所示．②當(dāng)飛船在X星球表面著陸后.把一個(gè)彈射器固定在星球表面上.豎直向上彈射一個(gè)小球.經(jīng)測(cè)定小球從彈射到落回的時(shí)間為t2. 已知用上述彈射器在地球上做同樣實(shí)驗(yàn)時(shí).小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t.又已知地球表面重力加速度為g.萬有引力常量為G.光速為c.地球和X星球的自轉(zhuǎn)以及它們對(duì)物體的大氣阻力均可不計(jì).試根據(jù)以上信息.求: X星球的質(zhì)量M,(3)X星球的第一宇宙速度v, (4)在X星球發(fā)射的衛(wèi)星的最小周期T. 解析:(1)由題設(shè)中圖示可知: (R+½ct1)sinθ＝R.∴R= (2)在X星球上以v0豎直上拋t2＝.在地球上以v0豎直上拋:t＝..又由. (3)mg'＝ (4)當(dāng)v達(dá)第一宇宙速度時(shí).有最小周期T. [例11]天體運(yùn)動(dòng)的演變猜想.在研究宇宙發(fā)展演變的理論中.有一種說法叫做“宇宙膨脹說 .認(rèn)為引力常量在慢慢減小.根據(jù)這種理論.試分析現(xiàn)在太陽系中地球的公轉(zhuǎn)軌道平徑.周期.速率與很久很久以前相比變化的情況. [解析]地球在半徑為R的圓形軌道上以速率v運(yùn)動(dòng)的過程中.引力常數(shù)G減小了一個(gè)微小量.萬有 引力公式.由于太陽質(zhì)量M,地球質(zhì)量m,r均未改變.萬有引力F引必然隨之減小.并小于公轉(zhuǎn)軌道上該點(diǎn)所需的向心力.由于慣性.地球?qū)⒆鲭x心運(yùn)動(dòng).即向外偏離太陽.半徑r增大.地球在遠(yuǎn)離太陽的過程中.在太陽引力的作用下引起速率v減小.運(yùn)轉(zhuǎn)周期增大.由此可以判斷.在很久很久以前.太陽系中地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑比現(xiàn)在小.周期比現(xiàn)在小.速率比現(xiàn)在大. 由引力常量G在慢慢減小的前提可以分析出太陽系中地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑在慢慢變大.表明宇宙在不斷地膨脹. 試題展示 散 專題:人造天體的運(yùn)動(dòng) 知識(shí)簡(jiǎn)析 一.衛(wèi)星的繞行角速度.周期與高度的關(guān)系 (1)由.得.∴當(dāng)h↑.v↓ (2)由G=mω2(r+h).得ω=.∴當(dāng)h↑.ω↓ (3)由G.得T= ∴當(dāng)h↑.T↑ 【查看更多】

 

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