題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令
.
當(dāng)時
單調(diào)遞減;當(dāng)
時
單調(diào)遞增,故當(dāng)
時,
取最小值
于是對一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)
. �、�
令則
當(dāng)時,
單調(diào)遞增;當(dāng)
時,
單調(diào)遞減.
故當(dāng)時,
取最大值
.因此,當(dāng)且僅當(dāng)
時,①式成立.
綜上所述,的取值集合為
.
(Ⅱ)由題意知,令
則
令,則
.當(dāng)
時,
單調(diào)遞減;當(dāng)
時,
單調(diào)遞增.故當(dāng)
,
即
從而,
又
所以因?yàn)楹瘮?shù)
在區(qū)間
上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在
使
即
成立.
【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值
對一切x∈R,f(x)
1恒成立轉(zhuǎn)化為
從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.
已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)
處的切線的斜率是
.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)求在區(qū)間
上的最大值;
(Ⅲ)對任意給定的正實(shí)數(shù),曲線
上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得
是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上?說明理由.
【解析】第一問當(dāng)時,
,則
。
依題意得:,即
解得
第二問當(dāng)時,
,令
得
,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在
軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則
,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
(Ⅰ)當(dāng)時,
,則
。
依題意得:,即
解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①當(dāng)時,
,令
得
當(dāng)變化時,
的變化情況如下表:
|
|
0 |
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又,
,
�!�
在
上的最大值為2.
②當(dāng)時,
.當(dāng)
時,
,
最大值為0;
當(dāng)時,
在
上單調(diào)遞增�!�
在
最大值為
。
綜上,當(dāng)時,即
時,
在區(qū)間
上的最大值為2;
當(dāng)時,即
時,
在區(qū)間
上的最大值為
。
(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在
軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則
,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
若,則
代入(*)式得:
即,而此方程無解,因此
。此時
,
代入(*)式得: 即
(**)
令
,則
∴在
上單調(diào)遞增, ∵
∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。
因此,對任意給定的正實(shí)數(shù),曲線
上存在兩點(diǎn)P、Q,使得
是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上
求圓心在直線y=-2x上,并且經(jīng)過點(diǎn)A(2,-1),與直線x+y=1相切的圓的方程.
【解析】利用圓心和半徑表示圓的方程,首先
設(shè)圓心為S,則KSA=1,∴SA的方程為:y+1=x-2,即y=x-3, ………4分
和y=-2x聯(lián)立解得x=1,y=-2,即圓心(1,-2)
∴r==
,
故所求圓的方程為:+
=2
解:法一:
設(shè)圓心為S,則KSA=1,∴SA的方程為:y+1=x-2,即y=x-3, ………4分
和y=-2x聯(lián)立解得x=1,y=-2,即圓心(1,-2) ……………………8分
∴r==
,
………………………10分
故所求圓的方程為:+
=2
………………………12分
法二:由條件設(shè)所求圓的方程為:+
=
, ………………………6分
解得a=1,b=-2, =2
………………………10分
所求圓的方程為:+
=2
………………………12分
其它方法相應(yīng)給分
,
,
為常數(shù),離心率為
的雙曲線
:
上的動點(diǎn)
到兩焦點(diǎn)的距離之和的最小值為
,拋物線
:
的焦點(diǎn)與雙曲線
的一頂點(diǎn)重合。(Ⅰ)求拋物線
的方程;(Ⅱ)過直線
:
(
為負(fù)常數(shù))上任意一點(diǎn)
向拋物線
引兩條切線,切點(diǎn)分別為
、
,坐標(biāo)原點(diǎn)
恒在以
為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)
的取值范圍。
【解析】第一問中利用由已知易得雙曲線焦距為,離心率為
,則長軸長為2,故雙曲線的上頂點(diǎn)為
,所以拋物線
的方程
第二問中,為
,
,
,
故直線的方程為
,即
,
所以,同理可得:
借助于根與系數(shù)的關(guān)系得到即,
是方程
的兩個不同的根,所以
由已知易得,即
解:(Ⅰ)由已知易得雙曲線焦距為,離心率為
,則長軸長為2,故雙曲線的上頂點(diǎn)為
,所以拋物線
的方程
(Ⅱ)設(shè)為
,
,
,
故直線的方程為
,即
,
所以,同理可得:
,
即,
是方程
的兩個不同的根,所以
由已知易得,即
已知點(diǎn)(
),過點(diǎn)
作拋物線
的切線,切點(diǎn)分別為
、
(其中
).
(Ⅰ)若,求
與
的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若以點(diǎn)為圓心的圓
與直線
相切,求圓
的方程;
(Ⅲ)若直線的方程是
,且以點(diǎn)
為圓心的圓
與直線
相切,
求圓面積的最小值.
【解析】本試題主要考查了拋物線的的方程以及性質(zhì)的運(yùn)用。直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。
中∵直線與曲線
相切,且過點(diǎn)
,∴
,利用求根公式得到結(jié)論先求直線
的方程,再利用點(diǎn)P到直線的距離為半徑,從而得到圓的方程。
(3)∵直線的方程是
,
,且以點(diǎn)
為圓心的圓
與直線
相切∴點(diǎn)
到直線
的距離即為圓
的半徑,即
,借助于函數(shù)的性質(zhì)圓
面積的最小值
(Ⅰ)由可得,
. ------1分
∵直線與曲線
相切,且過點(diǎn)
,∴
,即
,
∴,或
, --------------------3分
同理可得:,或
----------------4分
∵,∴
,
. -----------------5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
,則
的斜率
,
∴直線的方程為:
,又
,
∴,即
. -----------------7分
∵點(diǎn)到直線
的距離即為圓
的半徑,即
,--------------8分
故圓的面積為
. --------------------9分
(Ⅲ)∵直線的方程是
,
,且以點(diǎn)
為圓心的圓
與直線
相切∴點(diǎn)
到直線
的距離即為圓
的半徑,即
, ………10分
∴
,
當(dāng)且僅當(dāng),即
,
時取等號.
故圓面積的最小值
.
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