解綜合題的成敗在于審清題目.弄懂來龍去脈.透過給定信息的表象.抓住問題的本質(zhì).揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件.明確解題方向.形成解題策略. [典型例題] 話題1:等差.等比數(shù)列的項(xiàng)與和的特征問題 例1. 數(shù)列的前項(xiàng)和記為(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式,(Ⅱ)等差數(shù)列的各項(xiàng)為正.其前項(xiàng)和為.且.又成等比數(shù)列.求 解:(Ⅰ)由可得.兩式相減得 又 ∴ 故是首項(xiàng)為.公比為的等比數(shù)列 ∴ (Ⅱ)設(shè)的公比為.由得.可得.可得 故可設(shè) 又 由題意可得 解得 ∵等差數(shù)列的各項(xiàng)為正.∴ ∴ ∴ 例2. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.且對任意正整數(shù)..(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式?(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對數(shù)列.從第幾項(xiàng)起? 解:(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048. 當(dāng)n≥2時(shí), an= Sn-Sn-1=(4096-an)-(4096-an-1)= an-1-an ∴=.an=2048()n-1. (2) ∵log2an=log2[2048()n-1]=12-n, ∴Tn=(-n2+23n). 由Tn<-509,解得n>,而n是正整數(shù),于是,n≥46. ∴從第46項(xiàng)起Tn<-509. 例3. 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的首項(xiàng).前n項(xiàng)和為.且.(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式,(Ⅱ)求的前n項(xiàng)和. 解:(Ⅰ)由 得 即 可得 因?yàn)?所以 解得.因而 (Ⅱ)因?yàn)槭鞘醉?xiàng).公比的等比數(shù)列.故 則數(shù)列的前n項(xiàng)和 前兩式相減.得 即 話題2:等差.等比數(shù)列的判定問題. 例4. 已知有窮數(shù)列共有2項(xiàng)(整數(shù)≥2).首項(xiàng)＝2. 設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為.且＝+2(＝1.2.-.2-1).其中常數(shù)＞1. (1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列,(2)若＝2.數(shù)列滿足＝(＝1.2.-.2).求數(shù)列的通項(xiàng)公式, 中的數(shù)列滿足不等式|-|+|-|+-+|-|+|-|≤4.求的值. (1) 證明:當(dāng)n=1時(shí),a2=2a,則=a, 2≤n≤2k-1時(shí), an+1=(a-1) Sn+2, an=(a-1) Sn-1+2, an+1-an=(a-1) an, ∴=a, ∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列. 得an=2a, ∴a1a2-an=2a=2a=2, bn=. (3)設(shè)bn≤,解得n≤k+,又n是正整數(shù),于是當(dāng)n≤k時(shí), bn<, 當(dāng)n≥k+1時(shí), bn>. 原式=(-b1)+(-b2)+-+(-bk)+(bk+1-)+-+(b2k-) =(bk+1+-+b2k)-(b1+-+bk) ==. 當(dāng)≤4,得k2-8k+4≤0, 4-2≤k≤4+2,又k≥2, ∴當(dāng)k=2,3,4,5,6,7時(shí),原不等式成立. 例5. 已知數(shù)列中.是其前項(xiàng)和.并且.⑴設(shè)數(shù)列.求證:數(shù)列是等比數(shù)列,⑵設(shè)數(shù)列.求證:數(shù)列是等差數(shù)列,⑶求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和. 分析:由于和{c}中的項(xiàng)都和{a}中的項(xiàng)有關(guān).{a}中又有S=4a+2.可由S-S作切入點(diǎn)探索解題的途徑. [注2]本題立意與2007年高考題文科20題結(jié)構(gòu)相似. 解:(1)由S=4a.S=4a+2.兩式相減.得S-S=4(a-a).即a=4a-4a. (根據(jù)b的構(gòu)造.如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵.注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練) a-2a=2(a-2a).又b=a-2a.所以b=2b ① 已知S=4a+2.a=1.a+a=4a+2.解得a=5.b=a-2a=3 ② 由①和②得.數(shù)列是首項(xiàng)為3.公比為2的等比數(shù)列.故b=3·2. 當(dāng)n≥2時(shí).S=4a+2=2+2,當(dāng)n=1時(shí).S=a=1也適合上式. 綜上可知.所求的前n項(xiàng)和為S=2+2. 說明:1. 本例主要復(fù)習(xí)用等差.等比數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列為等差.等比數(shù)列.求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和.解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解不等式：5x≥4x+1．并利用解此題的方法證明：3x+4x=5x有唯一解．

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在一次數(shù)學(xué)競賽中，共出甲、乙、丙三題，在所有25個(gè)參賽的學(xué)生中，每個(gè)學(xué)生至少解出一題；在所有沒有解出甲題的學(xué)生中，解出乙題的人數(shù)是解出丙題的人數(shù)的兩倍；只解出甲題的學(xué)生比余下的學(xué)生中解出甲題的學(xué)生的人數(shù)多1；只解一題的學(xué)生中，有一半沒有解出甲題．問共有多少學(xué)生只解出乙題？

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在一次數(shù)學(xué)競賽中，共出甲、乙、丙三題，在所有25個(gè)參賽的學(xué)生中，每個(gè)學(xué)生至少解出一題；在所有沒有解出甲題的學(xué)生中，解出乙題的人數(shù)是解出丙題的人數(shù)的兩倍；只解出甲題的學(xué)生比余下的學(xué)生中解出甲題的學(xué)生的人數(shù)多1；只解一題的學(xué)生中，有一半沒有解出甲題．問共有多少學(xué)生只解出乙題？

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在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解不等式：5x≥4x+1．并利用解此題的方法證明：3x+4x=5x有唯一解．

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在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解不等式：5x≥4x+1．并利用解此題的方法證明：3x+4x=5x有唯一解．

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