題目列表(包括答案和解析)
已知函數的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.
(Ⅰ)求實數的值;
(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;
(Ⅲ)對任意給定的正實數,曲線上是否存在兩點P、Q,使得是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上?說明理由.
【解析】第一問當時,,則。
依題意得:,即 解得
第二問當時,,令得,結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定,得到極值和最值
第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設,則,顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
(Ⅰ)當時,,則。
依題意得:,即 解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①當時,,令得
當變化時,的變化情況如下表:
0 |
|||||
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
單調遞減 |
極小值 |
單調遞增 |
極大值 |
單調遞減 |
又,,!在上的最大值為2.
②當時, .當時, ,最大值為0;
當時, 在上單調遞增!在最大值為。
綜上,當時,即時,在區(qū)間上的最大值為2;
當時,即時,在區(qū)間上的最大值為。
(Ⅲ)假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設,則,顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
若,則代入(*)式得:
即,而此方程無解,因此。此時,
代入(*)式得: 即 (**)
令 ,則
∴在上單調遞增, ∵ ∴,∴的取值范圍是。
∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。
因此,對任意給定的正實數,曲線上存在兩點P、Q,使得是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上
(1)求頂點C的軌跡E的方程;
(2)如圖,從點D(,0)發(fā)射出一個質點m沿拋物線C1:y=-ax2+h向上飛行到點P時,立即得到變軌指令,即開始沿著曲線E運動.兩曲線C1和E在公共點P處的切線相同.求拋物線C1的方程.
設橢圓的左、右頂點分別為,點在橢圓上且異于兩點,為坐標原點.
(Ⅰ)若直線與的斜率之積為,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若,證明直線的斜率 滿足
【解析】(1)解:設點P的坐標為.由題意,有 ①
由,得,
由,可得,代入①并整理得
由于,故.于是,所以橢圓的離心率
(2)證明:(方法一)
依題意,直線OP的方程為,設點P的坐標為.
由條件得消去并整理得 ②
由,及,
得.
整理得.而,于是,代入②,
整理得
由,故,因此.
所以.
(方法二)
依題意,直線OP的方程為,設點P的坐標為.
由P在橢圓上,有
因為,,所以,即 ③
由,,得整理得.
于是,代入③,
整理得
解得,
所以.
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