15．已知函數(shù)f(x)＝(m∈R.e＝2.71828-是自然對數(shù)的底數(shù))． (1)求函數(shù)f(x)的極值, (2)當(dāng)x>0時.設(shè)f(x)的反函數(shù)為f-1(x).對0<p<q.試比較f(q-p).f-1(q-p)及f-1(q)-f-1(p)的大�。� 解:(1)當(dāng)x>0.f(x)＝ex-1在上單調(diào)遞增.且f(x)＝ex-1>0, 當(dāng)x≤0時.f(x)＝x3+mx2.此時f′(x)＝x2+2mx＝x(x+2m)． ①若m＝0.f′(x)＝x2≥0.則f(x)＝x3.在(-∞.0]上單調(diào)遞增.且f(x)＝x3≤0. 又f(0)＝0.可知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.無極值． ②若m<0.令f′(x)＝x(x+2m)>0 ⇒x<0或x>-2m． 函數(shù)f(x)＝x3+mx2在(-∞.0]上單調(diào)遞增. 同理.函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.無極值． ③若m>0.令f′(x)＝x(x+2m)>0⇒x>0或x<-2m. 函數(shù)f(x)＝x3+mx2在(-∞.-2m]上單調(diào)遞增.在(-2m,0]上單調(diào)遞減． 此時函數(shù)f(x)在x＝-2m處取得極大值:f(-2m)＝m3+4m3＝m3>0, 又f(x)在上單調(diào)遞增.故在x＝0處取得極小值:f(0)＝0. 綜上可知.當(dāng)m>0時.f(x)的極大值為m3.極小值為0,當(dāng)m≤0時.f(x)無極值． (2)當(dāng)x>0時.設(shè)y＝f(x)＝ex-1⇒y+1＝ex⇒x＝ln(y+1)． ∴f-1(x)＝ln(x+1)(x>0)． (ⅰ)比較f(q-p)與f-1(q-p)的大�。� 記g(x)＝f(x)-f-1(x)＝ex-ln(x+1)-1(x>0)． ∵g′(x)＝ex-在上是單調(diào)遞增函數(shù). ∴g′(x)>g′(0)＝e0-＝0恒成立． ∴函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增． ∴g(x)>g(0)＝e0-ln(0+1)-1＝0. 當(dāng)0<p<q時.有q-p>0. ∴g(q-p)＝eq-p-ln(q-p+1)-1>0. ∴eq-p-1>ln(q-p+1).即f(q-p)>f-1(q-p)．① (ⅱ)比較f-1(q-p)與f-1(q)-f-1(p)的大小． ln(q-p+1)-[ln(q+1)-ln(p+1)] ＝ln(q-p+1)-ln(q+1)+ln(p+1) ＝ln ＝ln ＝ln ＝ln ＝ln[+1]． ∵0<p<q.∴+1>1.故ln[+1]>0. ∴l(xiāng)n(q-p+1)>ln(q+1)-ln(p+1). 即f-1(q-p)>f-1(q)-f-1(p)．② ∴由①②可知.當(dāng)0<p<q時.有f(q-p)>f-1(q-p)>f-1(q)-f-1(p)． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

  已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(x)＝x無實(shí)根，下列命題中：

    （1）方程f [f (x)]＝x一定無實(shí)根；

    （2）若a＞0，則不等式f [f (x)]＞x對一切實(shí)數(shù)x都成立；

    （3）若a＜0，則必存在實(shí)數(shù)x0，使f [f (x0)]＞x0；

    （4）若a＋b＋c＝0，則不等式f [f (x)]＜x對一切x都成立；

    正確的序號有          ．              

 

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已知函數(shù)f(x)＝4x2－mx＋5在區(qū)間[－2，＋∞)上是增函數(shù)，則f(1)的范圍是(　　)

A．f(1)≥25         B．f(1)＝25     C．f(1)≤25         D．f(1)>25

 

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已知函數(shù)f(x)＝|lg(x－1)|－()x有兩個零點(diǎn)x1，x2，則有

A．x1x2<1　　　　B．x1x2<x1＋x2

C．x1x2＝x1＋x2　　　　D．x1x2>x1＋x2

 

 

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已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＝，則a＝                 (　　)

A．－1                      B.

C．－1或                 D．1或－

 

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(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2lnx(a為正數(shù))．
(1) 若曲線y＝f(x)在x＝1和x＝3處的切線互相平行，求a的值；
(2) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(3) 設(shè)g(x)＝x2－2x，若對任意的x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f(x1)＜g(x2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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