圓錐曲線的定義 【查看更多】

 

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圓錐曲線的統(tǒng)一定義為：平面內(nèi)到一個(gè)________F和一條定直線l(F不在l上)的距離的比________l的點(diǎn)的軌跡．

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圓錐曲線的統(tǒng)一定義中，l是圓錐曲線的________，定點(diǎn)F是圓錐曲線的________．定直線l是圓錐曲線的________．

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在圓錐曲線的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了它的標(biāo)準(zhǔn)方程，以橢圓＝1(a＞b＞0)為例說明此方程就是以F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a的橢圓的方程．怎樣利用曲線與方程的定義說明上述問題？

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我們常用定義解決與圓錐曲線有關(guān)的問題．如“設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過左焦點(diǎn)F1作傾斜角為θ的弦AB，設(shè)|F1A|=r1，|F1B|=r2，試證
1
r1
+
1
r2
為定值”．
證明如下：不妨設(shè)A在x軸的上方，在△ABC中，由橢圓的定義及余弦定理得，（2a-r1）2=r12+4c2-4cr1cosθ，∴r1=
b2
a-ccosθ
，
同理r2=
b2
a-ccos(π-θ)
=
b2
a+ccosθ
，于是
1
r
1+
1
r
2=
2a
b2
．請(qǐng)用類似的方法探索：設(shè)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過左焦點(diǎn)F1作傾斜角為θ的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)A，左支交于點(diǎn)B，設(shè)|F1A|=r1，|F1B|=r2，是否有類似的結(jié)論成立，請(qǐng)寫出與定值有關(guān)的結(jié)論是______．．

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橢圓為封閉圖形，雙曲線、拋物線為不封閉圖形，其圖形不一樣，但它們都可以用平面截對(duì)頂圓錐面得到，它們都滿足曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之比為常數(shù)，即離心率e，定義上的統(tǒng)一，必然也蘊(yùn)含著圖形統(tǒng)一，應(yīng)該如何解釋這種現(xiàn)象呢？

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