2.掌握研究函數(shù)的方法.提高研究函數(shù)問題的能力 高中數(shù)學(xué)對函數(shù)的研究理論性加強(qiáng)了.對一些典型問題的研究十分重視.如求函數(shù)的定義域.確定函數(shù)的解析式.判斷函數(shù)的奇偶性.判斷或證明函數(shù)在指定區(qū)間的單調(diào)性等.并形成了研究這些問題的初等方法.這些方法對分析問題能力.推理論證能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識能力的培養(yǎng)和發(fā)展是十分重要的. 函數(shù).方程.不等式是相互聯(lián)系的.對于函數(shù)f.f則分別構(gòu)成方程和不等式.因此對于某些方程.不等式的問題用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識是十分有益的,方程.不等式從另一個側(cè)面為研究函數(shù)提供了工具. 例10.方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為( ) A. C. 分析:在同一平面直角坐標(biāo)系中.畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象.它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo).顯然在區(qū)間(1.3)內(nèi).由此可排除A.D.至于選B還是選C.由于畫圖精確性的限制.單憑直觀就比較困難了.實(shí)際上這是要比較與2的大。(dāng)x=2時.lgx=lg2.3-x=1.由于lg2<1.因此>2.從而判定∈(2.3).故本題應(yīng)選C. 說明:本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間.?dāng)?shù)形結(jié)合.要在結(jié)合方面下功夫.不僅要通過圖象直觀估計.而且還要計算的鄰近兩個函數(shù)值.通過比較其大小進(jìn)行判斷. 例11.=kx+h>0.f(n)>0.則對于任意x∈>0.試證明之, (2)試用上面結(jié)論證明下面的命題: 若a.b.c∈R且|a|<1.|b|<1.|c|<1.則ab+bc+ca>-1. 分析:問題(1)實(shí)質(zhì)上是要證明.一次函數(shù)f. x∈.若區(qū)間兩個端點(diǎn)的函數(shù)值均為正.則對于任意x∈>0.之所以具有上述性質(zhì)是由于一次函數(shù)是單調(diào)的.因此本問題的證明要從函數(shù)單調(diào)性入手. (1)證明: 當(dāng)k>0時.函數(shù)f(x)=kx+h在x∈R上是增函數(shù).m<x<n.f>0, 當(dāng)k<0時.函數(shù)f(x)=kx+h在x∈R上是減函數(shù).m<x<n.f>0. 所以對于任意x∈>0成立. (2)將ab+bc+ca+1寫成(b+c)a+bc+1.構(gòu)造函數(shù)fx+bc+1.則 fa+bc+1. 當(dāng)b+c=0時.即b=-c. f(a)=bc+1=-c2+1. 因?yàn)閨c|<1.所以f(a)=-c2+1>0. 當(dāng)b+c≠0時.fx+bc+1為x的一次函數(shù). 因?yàn)閨b|<1.|c|<1. f=-b-c+bc+1=>0. 由問題(1)對于|a|<1的一切值fa+bc+1=ab+ac+bc+1>0. 說明:問題(2)的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化 “構(gòu)造 .把證明ab+bc+ca>-1轉(zhuǎn)化為證明ab+bc+ca+1>0. 由于式子ab+bc+ca+1中. a.b.c是對稱的.構(gòu)造函數(shù)f=(b+c)a+bc+1.問題轉(zhuǎn)化為在|a|<1.|b|<1.|c|<1的條件下證明f=>0). 例12.定義在R上的單調(diào)函數(shù)f=log3且對任意x.y∈R都有f. 為奇函數(shù), (2)若f(k·3)+f(3-9-2)<0對任意x∈R恒成立.求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 分析:欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對任意x都有f成立.在式子f中.令y=-x可得f于是又提出新的問題.求f(0)的值.令x=y=0可得f=0.f(x)是奇函數(shù)得到證明. +f. ① 令x=y=0.代入①式.得f.即 f(0)=0. 令y=-x.代入①式.得 f.又f(0)=0.則有 0=f=-f(x)對任意x∈R成立.所以f(x)是奇函數(shù). =log3>0.即f在R上是單調(diào)函數(shù).所以f(x)在R上是增函數(shù).又由是奇函數(shù). f(k·3)<-f(3-9-2)=f(-3+9+2). k·3<-3+9+2. 3-(1+k)·3+2>0對任意x∈R成立. 令t=3>0.問題等價于t-(1+k)t+2>0對任意t>0恒成立. R恒成立. 說明:問題(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì).f(x)是奇函數(shù)且在x∈R上是增函數(shù).把問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)f(t)=t-(1+k)t+2對于任意t>0恒成立.對二次函數(shù)f(t)進(jìn)行研究求解.本題還有更簡捷的解法: 分離系數(shù)由k·3<-3+9+2得 上述解法是將k分離出來.然后用平均值定理求解.簡捷.新穎. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

同學(xué)們學(xué)習(xí)了《必修1》的函數(shù)一章,初步掌握了研究函數(shù)的一些基本方法。在下面的學(xué)習(xí)中我們將接觸三角函數(shù),比如我們要學(xué)習(xí)“正弦三角函數(shù)y=sinx”,請你談?wù)勀阆霃哪菐讉方面來研究這個函數(shù)。(可類比研究指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的方法,至少說出4個方面)

1、­­                           

 

2、                           

 

3、                           

 

4、                           

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