在三角形的正弦定理與余弦定理在教材中是利用向量知識來推導的.說明正弦定理.余弦定理與向量有著密切的聯(lián)系.解斜三角形與向量的綜合主要體現為以三角形的角對應的三角函數值為向量的坐標.要求根據向量的關系解答相關的問題. [例6] 已知角A.B.C為△ABC的三個內角.其對邊分別為a.b.c.若＝.a＝2.且·＝． (Ⅰ)若△ABC的面積S＝.求b+c的值． (Ⅱ)求b+c的取值范圍． [分析] 第(Ⅰ)小題利用數量積公式建立關于角A的三角函數方程.再利用二倍角公式求得A角.然后通過三角形的面積公式及余弦定理建立關于b.c的方程組求取b+c的值,第(Ⅱ)小題正弦定理及三角形內角和定理建立關于B的三角函數式.進而求得b+c的范圍. [解] .＝.且·＝. ∴-cos2+sin2＝.即-cosA＝. 又A∈.∴A＝. 又由S△ABC＝bcsinA＝.所以bc＝4. 由余弦定理得:a2＝b2+c2-2bc·cos＝b2+c2+bc.∴16＝(b+c)2.故b+c＝4. (Ⅱ)由正弦定理得:＝＝＝＝4.又B+C＝p-A＝. ∴b+c＝4sinB+4sinC＝4sinB+4sin. ∵0＜B＜.則＜B+＜.則＜sin(B+)≤1.即b+c的取值范圍是(2.4]. [點評] 本題解答主要考查平面向量的數量積.三角恒等變換及三角形中的正弦定理.余弦定理.面積公式.三角形內角和定理等.解答本題主要有兩處要注意:第(Ⅰ)小題中求b+c沒有利用分別求出b.c的值為解.而是利用整體的思想.使問題得到簡捷的解答,小題的求解中特別要注意確定角B的范圍. [專題訓練] 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（本小題12分）

如圖，在三棱錐中，側面、是全等的直角三角形，是公共的斜邊，且，，另一個側面是正三角形．

（I）求證：；

（II）求二面角的余弦值；

（III）在直線是否存在一點，使直線與面成角？若存在，確定的位置；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

如圖是單位圓上的點，分別是圓與軸的兩交點，為正三角形.

（1）若點坐標為，求的值；

（2）若，四邊形的周長為，試將表示成的函數，并求出的最大值.

【解析】第一問利用設 

∵  A點坐標為∴   ，

（2）中 由條件知  AB=1，CD=2 ，

在中，由余弦定理得 

  ∴ 

∵       ∴    ，

∴  當時，即 當 時 ， y有最大值5. .

 

查看答案和解析>>

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=2，BC1=，CC1=，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC1B1，E為棱AB的中點，F為CC1上的動點．
（Ⅰ）在線段CC1上是否存在一點F，使得EF∥平面A1BC1？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由．
（Ⅱ）在線段CC1上是否存在一點F，使得EF⊥BB1？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由．
（ III）當F為CC1的中點時，若AC≤CC1，且EF與平面ACC1A1所成的角的正弦值為，求二面角C-AA1-B的余弦值．

查看答案和解析>>

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=2，BC1=
2
，CC1=
2
，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC1B1，E為棱AB的中點，F為CC1上的動點．
（Ⅰ）在線段CC1上是否存在一點F，使得EF∥平面A1BC1？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由．
（Ⅱ）在線段CC1上是否存在一點F，使得EF⊥BB1？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由．
（ III）當F為CC1的中點時，若AC≤CC1，且EF與平面ACC1A1所成的角的正弦值為
2
3
，求二面角C-AA1-B的余弦值．

查看答案和解析>>

已知三棱柱ABC－A1B1C1三視圖如下圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，正、側視圖都是正方形，D、E分別為棱CC1和B1C1的中點．

(1)求異面直線BD與A1E所成角的余弦值；

(2)在棱AC上是否存在一點F，使EF⊥平面A1BD，若存在，確定點F的位置；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>


同步練習冊答案