如圖，拋物線y＝x²與直線相交于O，A兩點，點P沿著拋物線從點A出發(fā)，按橫坐標大于點A的橫坐標方向運動，PS∥x軸，交直線OA于點S，PQ⊥x軸，SR⊥x軸，垂足為Q，R．

(1)當點P的橫坐標為2時，回答下面問題：

①求S點的坐標．②求通過原點，且平分矩形PQRS面積的直線解析式．

(2)當矩形PQRS為正方形時，求點P的坐標．

我們知道，經(jīng)過原點的拋物線的解析式可以是y＝ax²＋bx(a≠0)

(1)對于這樣的拋物線：當頂點坐標為(1，1)時，a＝________；當頂點坐標為(m，m)，m≠0時，a與m之間的關(guān)系式是________．

(2)繼續(xù)探究，如果b≠0，且過原點的拋物線頂點在直線y＝kx(k≠0)上，請用含k的代數(shù)式表示b；

(3)現(xiàn)有一組過原點的拋物線，頂點A₁，A₂，…，A_n在直線y＝x上，橫坐標依次為1，2，…，n(為正整數(shù)，且n≤12)，分別過每個頂點作x軸的垂線，垂足記為B₁，B₂，…，B_n，以線段A_nB_n為邊向右作正方形A_nB_nC_nD_n，若這組拋物線中有一條經(jīng)過D_n，求所有滿足條件的正方形邊長．

在解題目：“當x＝1949時，求代數(shù)式的值”時，聰聰認為x只要任取一個使原式有意義的值代入都有相同結(jié)果．你認為他說的有理嗎？請說明理由．

已知，如圖，菱形ABCD，對角線AC＝6 cm，BD＝8 cm，點P從點A出發(fā)沿線段AD向點D運動(不與點A、D重合)，速度為1cm/秒；同時，點E從點C出發(fā)沿CA向點A運動，速度為cm/秒，過點E作EF∥CD交BD于點F．設(shè)點P運動了x秒．

(1)用含x的代數(shù)式填空：PD＝________cm，AE＝________cm．

(2)當x為何值時△AEP和△OEF相似．

(3)當2.5＜x＜5時，設(shè)S_△AEP＋S_△PEF＝y(tǒng)cm²，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

(4)以O(shè)為原點建立直角坐標系，是否存在拋物線同時過點A、E、F、P，若存在，直接寫出x的值，若不存在，說明理由．