題型1:平面向量的概念 例1．(1)給出下列命題: ①若||＝||.則=, ②若A.B.C.D是不共線的四點(diǎn).則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件, ③若=.=.則=, ④=的充要條件是||=||且//, ⑤ 若//.//.則//, 其中正確的序號(hào)是 . (2)設(shè)為單位向量.(1)若為平面內(nèi)的某個(gè)向量.則=||·;(2)若與a0平行.則=||·,(3)若與平行且||=1.則=.上述命題中.假命題個(gè)數(shù)是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析:(1)①不正確．兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等.但它們的方向不一定相同, ②正確,∵ .∴ 且. 又 A.B.C.D是不共線的四點(diǎn).∴ 四邊形 ABCD為平行四邊形,反之.若四邊形ABCD為平行四邊形.則.且. 因此.. ③正確,∵ =.∴ .的長(zhǎng)度相等且方向相同, 又＝.∴ .的長(zhǎng)度相等且方向相同. ∴ .的長(zhǎng)度相等且方向相同.故＝. ④不正確,當(dāng)//且方向相反時(shí).即使||=||.也不能得到=.故||=||且//不是=的充要條件.而是必要不充分條件, ⑤不正確,考慮=這種特殊情況, 綜上所述.正確命題的序號(hào)是②③. 點(diǎn)評(píng):本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念.向量的基本概念較多.因而容易遺忘.為此.復(fù)習(xí)時(shí)一方面要構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu).另一方面要善于與物理中.生活中的模型進(jìn)行類(lèi)比和聯(lián)想. (2)向量是既有大小又有方向的量.與||模相同.但方向不一定相同.故(1)是假命題,若與平行.則與方向有兩種情況:一是同向二是反向.反向時(shí)=-||.故也是假命題.綜上所述.答案選D. 點(diǎn)評(píng):向量的概念較多.且容易混淆.故在學(xué)習(xí)中要分清.理解各概念的實(shí)質(zhì).注意區(qū)分共線向量.平行向量.同向向量等概念. 題型2:平面向量的運(yùn)算法則 例2．(1)如圖所示.已知正六邊形ABCDEF.O是它的中心.若=.=.試用.將向量... 表示出來(lái). 如圖.在平行四邊形ABCD中.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 A．＝ B．+＝ C．-＝ D．+＝ 如圖1所示.D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn).則向量( ) A． B． C． D． (1)解析:根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則.用向量.來(lái)表示其他向量.只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可. 因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形.所以它的中心O及頂點(diǎn)A.B.C四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形ABCO. 所以.=+.= =+. 由于A.B.O.F四點(diǎn)也構(gòu)成平行四邊形ABOF.所以=+=+=++=2+. 同樣在平行四邊形 BCDO中.＝＝＝+(+)＝+2.＝＝-. 點(diǎn)評(píng):其實(shí)在以A.B.C.D.E.F及O七點(diǎn)中.任兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn).均可用 .表示.且可用規(guī)定其中任兩個(gè)向量為..另外任取兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn).也可用.表示. (2)C． (3).故選A. 例3．設(shè)A.B.C.D.O是平面上的任意五點(diǎn).試化簡(jiǎn): ①.②.③. 解析:①原式= , ②原式= , ③原式= . 例4．設(shè)為未知向量..為已知向量.解方程2-(5+3-4)+ -3=0 解析:原方程可化為:(2 - 3) + (-5+) + (4-3) = 0. ∴ =+ . 點(diǎn)評(píng):平面向量的數(shù)乘運(yùn)算類(lèi)似于代數(shù)中實(shí)數(shù)與未知數(shù)的運(yùn)算法則.求解時(shí)兼顧到向量的性質(zhì). 題型3:平面向量的坐標(biāo)及運(yùn)算 例5．已知中.A,BC邊上的高為AD.求. 解析:設(shè)D(x,y).則 ∵ 得 所以. 例6．已知點(diǎn),試用向量方法求直線和(為坐標(biāo)原點(diǎn))交點(diǎn)的坐標(biāo). 解析:設(shè).則 因?yàn)槭桥c的交點(diǎn).所以在直線上.也在直線上. 即得.由點(diǎn)得.. 得方程組.解之得. 故直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為. 題型4:平面向量的性質(zhì) 例7．平面內(nèi)給定三個(gè)向量.回答下列問(wèn)題: (1)求滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)m,n, (2)若.求實(shí)數(shù)k, (3)若滿(mǎn)足.且.求. 解析:(1)由題意得.所以.得. (2). , (3) 由題意得.得或. 例8．已知 (1)求, (2)當(dāng)為何實(shí)數(shù)時(shí).與平行. 平行時(shí)它們是同向還是反向? 解析:(1)因?yàn)? 所以 則 (2). 因?yàn)榕c平行.所以即得. 此時(shí)..則.即此時(shí)向量與方向相反. 點(diǎn)評(píng):上面兩個(gè)例子重點(diǎn)解析了平面向量的性質(zhì)在坐標(biāo)運(yùn)算中的體現(xiàn).重點(diǎn)掌握平面向量的共線的判定以及平面向量模的計(jì)算方法. 題型5:共線向量定理及平面向量基本定理 例9．平面直角坐標(biāo)系中.O為坐標(biāo)原點(diǎn).已知兩點(diǎn)A(3.1).B.若點(diǎn)C滿(mǎn)足.其中α.β∈R.且α+β=1.則點(diǎn)C的軌跡方程為( ) A．3x+2y-11=0 B．(x-1)2+(y-2)2=5 C．2x-y=0 D．x+2y-5=0 解法一:設(shè).則. 由得. 于是.先消去.由得. 再消去得.所以選取D. 解法二:由平面向量共線定理. 當(dāng).時(shí).A.B.C共線. 因此.點(diǎn)C的軌跡為直線AB.由兩點(diǎn)式直線方程得即選D. 點(diǎn)評(píng):熟練運(yùn)用向量的加法.減法.實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算,兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)表示,運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示.使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化.將數(shù)與形有機(jī)的結(jié)合. 例10．已知︱︱=1.︱︱=,=0,點(diǎn)C在∠AOB內(nèi).且∠AOC=30°.設(shè)=m+n(m.n∈R).則等于( ) A． B．3 C． D． 如圖:OM∥AB.點(diǎn)P由射線OM.線段OB及AB的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi).且.則實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)可以是( ) A． B. C. D. 解析:C. 題型6:平面向量綜合問(wèn)題 例11．已知向量與的對(duì)應(yīng)關(guān)系用表示. (1)證明:對(duì)于任意向量及常數(shù)m.n恒有成立, (2)設(shè).求向量及的坐標(biāo), (3)求使.的向量的坐標(biāo) 解析:(1)設(shè).則. 故 . ∴ (2)由已知得=(1.1).= (3)設(shè)=(x.y).則. ∴y=p.x=2p-q.即=. 例12．求證:起點(diǎn)相同的三個(gè)非零向量..3-2的終點(diǎn)在同一條直線上. 證明:設(shè)起點(diǎn)為O.＝.=.＝3-2. 則=2(-).=-.. ∵ 共線且有公共點(diǎn)A.因此.A.B.C三點(diǎn)共線. 即向量..3-2的終點(diǎn)在同一直線上． 點(diǎn)評(píng):(1)利用向量平行證明三點(diǎn)共線.需分兩步完成:① 證明向量平行,② 說(shuō)明兩個(gè)向量有公共點(diǎn), ⑵用向量平行證明兩線段平行也需分兩步完成:①證明向量平行,②說(shuō)明兩向量無(wú)公共點(diǎn). 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

非空集合G關(guān)于運(yùn)算滿(mǎn)足：①對(duì)于任意a、b∈G，都有a?b∈G；②存在e∈G，使對(duì)一切a∈G都有a?e=e?a=a，則稱(chēng)G關(guān)于運(yùn)算為融洽集，現(xiàn)有下列集合運(yùn)算：
（1）G={非負(fù)整數(shù)}，為整數(shù)的加法；
（2）G={偶數(shù)}，為整數(shù)的乘法；
（3）G={平面向量}，為平面向量的加法；
（4）G={二次三項(xiàng)式}，為多項(xiàng)式的加法；
其中關(guān)于運(yùn)算的融洽集有
（1）（3）
（1）（3）
．

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（2009•閔行區(qū)一模）如圖，直三棱柱OAB-O1A1B1中，∠AOB=90°，M是側(cè)棱BB1上一點(diǎn)，向量
a
=(1，  1，  -1)是平面OA1M的一個(gè)法向量，則平面OAB與平面OA1M所成二面角的銳角為
arccos
3
3
arccos
3
3
（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

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非空集合G關(guān)于運(yùn)算⊕滿(mǎn)足：（1）對(duì)任意a、b∈G，都有a⊕b∈G；（2）存在c∈G，使得對(duì)一切a∈G，都有a⊕c=c⊕a=a，則稱(chēng)G關(guān)于運(yùn)算⊕為“融洽集”．現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：
①G={非負(fù)整數(shù)}，⊕為整數(shù)的加法；
②G={偶數(shù)}，⊕為整數(shù)的乘法；
③G={平面向量}，⊕為平面向量的加法；
④G={二次三項(xiàng)式}，⊕為多項(xiàng)式的加法．
其中G關(guān)于運(yùn)算⊕為“融洽集”的是（　�。�

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非空集合M關(guān)于運(yùn)算⊕滿(mǎn)足：（1）對(duì)任意的a，b∈M，都有a⊕b∈M；（2）存在e∈M，使得對(duì)一切a∈M，都有a⊕e=e⊕a=a，則稱(chēng)M關(guān)于運(yùn)算⊕為“理想集”．現(xiàn)給出下列集合與運(yùn)算：
①M(fèi)={非負(fù)整數(shù)}，⊕為整數(shù)的加法；
②M={偶數(shù)}，⊕為整數(shù)的乘法；
③M={二次三項(xiàng)式}，⊕為多項(xiàng)式的加法；
④M={平面向量}，⊕為平面向量的加法；
其中M關(guān)于運(yùn)算⊕為“理想集”的是
 
．（只需填出相應(yīng)的序號(hào)）

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以下有關(guān)平面向量的結(jié)論：
①
a
•
b
=
a
•
c
⇒
b
=
c
；②(
a
+
b
)(
a
-
b
)=0⇒|
a
|=|
b
|；③(
a
•
b
)•
c
=
a
•(
b
•
c
)；④
a
•
b
=|
a•
b
|⇒
a
=
b
，
其中正確的結(jié)論有（　�。�

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