例1 用圖象解不等式 解:利用圖象知.所求解為 亦可利用單位圓求解 例2求函數(shù)的定義域.值域.并指出它的周期性.奇偶性.單調(diào)性 解:由得. 所求定義域?yàn)? 值域?yàn)镽.周期.是非奇非偶函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù) 例3作出函數(shù)且的簡圖 解: 例4求下列函數(shù)的定義域1. 2. 解:1. 2 例5 已知函數(shù)y=sin2x+cos2x-2 (1)用“五點(diǎn)法 作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象 (2)求這個(gè)函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間 (3)求函數(shù)圖象的對稱軸方程 (4)說明圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的 解:y=sin2x+cos2x-2=2sin(2x+)-2 (1)列表 x 0 2 -2 0 -2 -4 -2 其圖象如圖示 (2)=π 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ.知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 ［-π+kπ,+kπ］,k∈Z 由+2kπ≤2x+≤π+2kπ.知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 ［+kπ,π+kπ］,k∈Z (3)由2x+=+kπ得x=+π ∴函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=+π,(k∈Z) (4)把函數(shù)y1=sinx的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位.得到函數(shù)y2=sin(x+)的圖象, 再把y2圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍.得到y(tǒng)3=sin (2x+)的圖象, 再把y3圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍.得到y(tǒng)4=2sin (2x+)的圖象, 最后把y4圖象上所有點(diǎn)向下平移2個(gè)單位.得到函數(shù)y=2sin (2x+)-2的圖象 評注:(1)求函數(shù)的周期.單調(diào)區(qū)間.最值等問題.一般都要化成一個(gè)角的三角函數(shù)形式 (2)對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的對稱軸.實(shí)際上就是使函數(shù)y取得最大值或最小值時(shí)的x值 問的變換方法不惟一.但必須特別注意平移變換與伸縮變換的先后順序! 例6 如圖.某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B (1)求這段時(shí)間的最大溫差, (2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式 解:(1)由圖可知.這段時(shí)間的最大溫差是30-10=20(℃) (2)圖中從6時(shí)到14時(shí)的圖象是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B的半個(gè)周期的圖象 ∴·=14-6ω= 又由圖可得 ∴y=10sin(x+φ)+20 將x=6.y=10代入上式得:sin(π+φ)=-1 ∴ 故所求的解析式為 y=10sin(x+π)+20.x∈［6,14］ 評注:①本題以應(yīng)用題的形式考查熱點(diǎn)題型.設(shè)計(jì)新穎別致.匠心獨(dú)具 ②此類“由已知條件或圖象求函數(shù)的解析式 的題目.實(shí)質(zhì)上是用“待定系數(shù)法 確定A.ω.φ和B.它們的計(jì)算方法為: ω與周期有關(guān).可通過T=求得.而關(guān)鍵一步在于如何確定φ?通常是將圖象上已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式.得到一個(gè)關(guān)于φ的簡單三角方程.但φ到底取何值值得考慮若得方程sinφ=.那么φ是取.還是取π呢?這就要看所代入的點(diǎn)是在上升的曲線上.還是在下降的曲線上.若在上升的曲線上.φ就取.否則就取π.而不能同時(shí)取兩個(gè)值 例7 a為何值時(shí).方程sin2x+2sinxcosx-2cos2x=a有實(shí)數(shù)解 分析:所給方程的特征較明顯.即是關(guān)于sinx與cosx的奇式方程.通過變形就可化為以tanx為變元的一元二次方程.從而據(jù)判別式進(jìn)行求解 解法一:原方程可化為: sin2x+2sinxcosx-2cos2x=a(sin2x+cos2x) 即(1-a)sin2x+2sinxcosx-(2+a)cos2x=0 (1)當(dāng)a≠1時(shí).∵cosx≠0, ∴方程兩邊同除以cos2x得(1-a)tan 2x+2tanx-(2+a)=0 ∵tanx∈R∴Δ≥0即4+4(1-a)(2+a)≥0 即a2+a-3≤0又a≠1, ∴a∈［,1］∪(1,］ (2)當(dāng)a=1時(shí).原方程化為2sinxcosx-3cos2x=0, 此方程有實(shí)根 綜合可得a∈［,］時(shí).原方程有實(shí)數(shù)根 解法二: 當(dāng)實(shí)數(shù)a取函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx-2cos2x值域中的數(shù)值時(shí).原方程有實(shí)根因此.求a的范圍.實(shí)質(zhì)上就是求上述函數(shù)的值域 ∵y=sin2x+2sinxcosx-2cos2x =1+sin2x-3cos2x =1+sin2x-(1+cos2x) =sin2x-cos2x- =sin(2x-φ)- 其中 ∴y∈［］ 即a∈［］時(shí).原方程有實(shí)數(shù)根 評注:解法一是常規(guī)解法.解法二利用了變換的觀點(diǎn)通過函數(shù)思想來解方程函數(shù)與方程是數(shù)學(xué)中兩個(gè)重要的概念.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí).如能靈活運(yùn)用.將使解答具有創(chuàng)造性 例8 某體育館擬用運(yùn)動(dòng)場的邊角地建一個(gè)矩形的健身室.ABCD是一塊邊長為50 m的正方形地皮.扇形CEF是運(yùn)動(dòng)場的一部分.其半徑為40 m.矩形AGHM就是擬建的健身室.其中G.M分別在AB和AD上.H在 上設(shè)矩形AGHM的面積為S.∠HCF=θ.請將S表示為θ的函數(shù).并指出當(dāng)點(diǎn)H在 的何處時(shí).該健身室的面積最大.最大面積是多少? 分析:主要考查學(xué)生解決實(shí)際問題的能力及函數(shù)最值的求解 解:延長GH交CD于N.則NH=40 sinθ,CN=40 cosθ ∴HM=ND=50-40 cosθ,AM=50-40 sinθ 故S=(50-40 cosθ)(50-40 sinθ) =100［25-20(sinθ+cosθ)+16sinθcosθ］(0≤θ≤) 令t=sinθ+cosθ=sin(θ+) 則sinθcosθ=且t∈［1, ］ ∴S=100［25-20t+8(t2-1)］=800(t-)2+450 又t∈［1, ］∴當(dāng)t=1時(shí).Smax=500 此時(shí)sin(θ+)=1sin (θ+)= ∵≤θ+≤π ∴θ+=或π 即θ=0或θ= 答:當(dāng)點(diǎn)H在 的端點(diǎn)E或F處時(shí).該健身室的面積最大.最大值是500 m2 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

用圖象解不等式．
①sinx≥
1
2

②cos2x≤
3
2
．

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用圖象解不等式．
①sinx≥
1
2

②cos2x≤
3
2
．

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已知函數(shù)y=f（x）是指數(shù)函數(shù)，且它的圖象過點(diǎn)（2，4）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求f（0），f（-2），f（4）；
（3）畫出指數(shù)函數(shù)y=f（x）的圖象，并根據(jù)圖象解不等式f（2x）＞f（-x+3）．

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已知函數(shù)f（x）=2|x-1|-3|x|．
（1）畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）根據(jù)圖象求函數(shù)f（x）=2|x-1|-3|x|的最大值；
（3）根據(jù)圖象解不等式f（x）＜0．

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（選修4-5不等式選講）
設(shè)函數(shù)f（x）=|x2-4x-5|
（1）畫出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，6]上的圖象
（2）結(jié)合函數(shù)圖象解不等式f（x）≥5．

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