已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，其中F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，M是C₁與C₂在第一象限的交點，且|MF₂|=

5

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）已知菱形ABCD的頂點A，C在橢圓C₁上，對角線BD所在的直線的斜率為1．
①當直線BD過點（0，

1

7

）時，求直線AC的方程；
②當∠ABC=60°時，求菱形ABCD面積的最大值．

已知橢圓C₁的中心和拋物線C₂的頂點都在坐標原點O，C₁和C₂有公共焦點F，點F在x軸正半軸上，且C₁的長軸長、短軸長及點F到C₁右準線的距離成等比數(shù)列．
（Ⅰ）當C₂的準線與C₁右準線間的距離為15時，求C₁及C₂的方程；
（Ⅱ）設過點F且斜率為1的直線l交C₁于P，Q兩點，交C₂于M，N兩點．當|MN|=8時，求|PQ|的值．

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過點（0，1），過右焦點F且不與x軸重合的動直線L交橢圓于A，C兩點，當動直線L的斜率為2時，坐標原點O到L的距離為

2 5

5

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過F的另一直線交橢圓于B，D兩點，且AC⊥BD，當四邊形ABCD的面積S=

16

9

時，求直線L的方程．

已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸的負半軸上，過其上一點P（x₀，y₀）（x₀≠0）的切線方程為y-y₀=2ax₀（x-x₀）（a為常數(shù)）．
（I）求拋物線方程；
（II）斜率為k₁的直線PA與拋物線的另一交點為A，斜率為k₂的直線PB與拋物線的另一交點為B（A、B兩點不同），且滿足k₂+λk₁=0（λ≠0，λ≠-1），若

BM

=λ

MA

，求證線段PM的中點在y軸上；
（III）在（II）的條件下，當λ=1，k₁＜0時，若P的坐標為（1，-1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標的取值范圍．

直線l：y=k（x-1）過已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1經(jīng)過點（0，

3

），離心率為

1

2

，經(jīng)過橢圓C的右焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，點A、F、B在直線x=4上的射影依次為點D、K、E．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點M，且

MA

=λ

AF

，

MB

=μ

BF

，當直線l的傾斜角變化時，探求λ+μ的值是否為定值？若是，求出λ+μ的值，否則，說明理由；
（Ⅲ）連接AE、BD，試探索當直線l的傾斜角變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由．