(一)數(shù)列求和的常用方法 1. 公式法:適用于等差.等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差.等比數(shù)列的數(shù)列. 2.裂項相消法:適用于其中{ }是各項不為0的等差數(shù)列.c為常數(shù),部分無理數(shù)列.含階乘的數(shù)列等. 3.錯位相減法:適用于其中{ }是等差數(shù)列.是各項不為0的等比數(shù)列. 4.倒序相加法: 類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法. 5.分組求和法. 6.累加(乘)法等 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

數(shù)列求和的常用方法:

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已知遞增等差數(shù)列滿足:,且成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列的通項公式

(2)若不等式對任意恒成立,試猜想出實數(shù)的最小值,并證明.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問中,利用設(shè)數(shù)列公差為

由題意可知,即,解得d,得到通項公式,第二問中,不等式等價于,利用當(dāng)時,;當(dāng)時,;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。

解:(1)設(shè)數(shù)列公差為,由題意可知,即,

解得(舍去).      …………3分

所以,.        …………6分

(2)不等式等價于

當(dāng)時,;當(dāng)時,

,所以猜想,的最小值為.     …………8分

下證不等式對任意恒成立.

方法一:數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)時,,成立.

假設(shè)當(dāng)時,不等式成立,

當(dāng)時,, …………10分

只要證  ,只要證  ,

只要證  ,只要證  ,

只要證  ,顯然成立.所以,對任意,不等式恒成立.…14分

方法二:單調(diào)性證明.

要證 

只要證  ,  

設(shè)數(shù)列的通項公式,        …………10分

,    …………12分

所以對,都有,可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.

,所以恒成立,

的最小值為

 

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一數(shù)列{an}的前n項的平均數(shù)為n.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=
an
2n+1
,證明數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列;
(3)設(shè)f(x)=-
x2
3
+
4x
3
-
an
2n+1
,是否存在最大的數(shù)M?當(dāng)x≤M時,對于一切非零自然數(shù)n,都有f(x)≤0.

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