50．若f ( x ) = x3.f ′( x0) =3.則x0的值為( ) A．1 B．-1 C．±1 D．3 【查看更多】

 

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若f ( x ) = x3，f `( x0) =3，則x0的值為（  ）
A．1B．–1C．±1D．3

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若f ( x ) = x3，f ′( x0) =3，則x0的值為（   ）

A．1            B．－1          C．±1             D．3

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若函數(shù)y=f（x）在x=x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)。已知a，b是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn)。
（1）求a和b的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g′（x）=f（x）+2，求g（x）的極值點(diǎn)；
（3）設(shè)h（x）=f（f（x））-c，其中c∈[-2，2]，求函數(shù)y=h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

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（2012•江蘇）若函數(shù)y=f（x）在x=x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)．已知a，b是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求a和b的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g′（x）=f（x）+2，求g（x）的極值點(diǎn)；
（3）設(shè)h（x）=f（f（x））-c，其中c∈[-2，2]，求函數(shù)y=h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

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已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點(diǎn)A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問，利用函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0，x03－3x0)，因?yàn)檫^點(diǎn)A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數(shù)∴m＝－2x03＋6x02－6

然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，判定單調(diào)性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，x03－3x0)，

∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

又切線過點(diǎn)A(2，m)

∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

∴m＝－2x03＋6x02－6

令g(x)＝－2x3＋6x2－6

則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，(0,2)單調(diào)遞增，(2，＋∞)單調(diào)遞減．

∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當(dāng)－6<m<2時(shí)，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

 

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