已知條件p：|x-1|＞a（a≥0）和條件q：lg（x²-3x+3）＞0，
（1）求滿足條件p，q的不等式的解集．
（2）分別利用所給的兩個條件作為A，B構(gòu)造命題：“若A，則B”，問是否存在非負(fù)實(shí)數(shù)a使得構(gòu)造的原命題為真命題，而其逆命題為假命題，若存在，求出a的取值范圍．若不存在，請說明理由．

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx，且f（x+1）為偶函數(shù)，定義：滿足f（x）=x的實(shí)數(shù)x稱為函數(shù)f（x）的“不動點(diǎn)”，若函數(shù)f（x）有且僅有一個不動點(diǎn)，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+

k

x

+

1

2

x²在 （0，

6

3

]上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域?yàn)閇km，kn]？若存在，請求出區(qū)間[m，n]；若不存在，請說明理由．

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+5，記f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）．
（I）若曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為3，且x=

2

3

時，y=f（x）有極值，求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）在（I）的條件下，求函數(shù)f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值；
（III）若關(guān)于x的方程f’（x）=0的兩個實(shí)數(shù)根為α、β，且1＜α＜β＜2試問：是否存在正整數(shù)n₀，使得|f′(n0)|≤

3

4

？說明理由．