（2013•汕頭一模）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，存在常數(shù)A，B，C，使得a_n+S_n=An²+Bn+C對任意正整數(shù)n都成立．
（1）若A=-

1

2

，B=-

3

2

，C=1，設(shè)b_n=a_n+n，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）在（1）的條件下，c_n=（2n+1）b_n，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：T_n＜5；
（3）若C=0，{a_n}是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，若λ+n≤

n

i=1

1+ 2 a 2 i + 1 a 2 i+1

對任意的正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍（注：

n

i=1

xi=x₁+x₂+…+x_n）

已知等比數(shù)列{a_n} 的各項(xiàng)均為正數(shù)，且公比不等于1，數(shù)列{b_n}對任意正整數(shù)n，均有：（b_n+1-b_n+2）•log₂a₁+（b_n+2-b_n）•log₂a₃+（b_n-b_n+1）•log₂a₅=0 成立，b₁=1，b₇=13；
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（2）在數(shù)列{b_n}中依次取出第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，第8項(xiàng)，…，第2^n-1項(xiàng)，…，組成一個(gè)新數(shù)列 {c_n}，求數(shù)列 {c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）對（1）（2）中的S_n、T_n，當(dāng)n≥3時(shí)，比較T_n與S_n的大小．

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*）．f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足：a1=1，anf′(an)=

a

2 n+1

-3．證明：數(shù)列{

a

2 n

}中任意不同三項(xiàng)不能構(gòu)成等差數(shù)列；
（2）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，證明：當(dāng)x＞0時(shí)，對任意正整數(shù)n都有[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（x）≥2ⁿ（2ⁿ-2）成立．