題目列表(包括答案和解析)
在四棱錐中,平面,底面為矩形,.
(Ⅰ)當時,求證:;
(Ⅱ)若邊上有且只有一個點,使得,求此時二面角的余弦值.
【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當a=1時,底面ABCD為正方形,
又因為,………………2分
又,得證。
第二問,建立空間直角坐標系,則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
設BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》
要使,只要
所以,即………6分
由此可知時,存在點Q使得
當且僅當m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得
由此知道a=2, 設平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
解:(Ⅰ)當時,底面ABCD為正方形,
又因為,又………………3分
(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標系,如圖所示,
則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
設BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要
所以,即………6分
由此可知時,存在點Q使得
當且僅當m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得由此知道a=2,
設平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
如圖所示,PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,AB=1,,點F是PB的中點,點E在邊BC上移動.
(1)若,求證:;
(2)若二面角的大小為,則CE為何值時,三棱錐的體積為.
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如圖,四棱柱中,平面,底面是邊長為的正方形,側(cè)棱.
(1)求三棱錐的體積;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)若棱上存在一點,使得,當二面角的大小為時,求實數(shù)的值.
【解析】(1)在中,
. (3’)
(2)以點D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則
(4’)
,設平面的法向量為,
由得, (5’)
則,
. (7’)
(3)
設平面的法向量為,由得, (10’)
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