（I）證明：（1）連接CD₁

∵四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形

∴A₁D₁//AD，AD//BC，A₁D₁=AD，AD=BC；

∴A₁D₁//BC，A₁D₁=BC，

∴四邊形A₁BCD₁為平行四邊形；∴A₁B//D₁C………3分

∵點E、F分別是棱CC₁、C₁D₁的中點；∴EF//D₁C

又∴EF//A₁B

又∵A₁B平面A₁DB，EF面A₁DB；

∴EF⊥平面A₁BD  ………………6分

   （II）連結(jié)AC交BD于點G，連接A₁G，EG

∵四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，

底面ABCD是菱形

∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AD，EC⊥BC，EC⊥DC，

AD=AB，BC=CD

∵底面ABCD是菱形，∴點G為BD中點，

∴A₁G⊥BD，EG⊥BD

∴∠A₁GE為直二面角A₁―BD―E的平面角，

∴∠A₁GE=90°………………3分

在棱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，

∴∠ABC=120°，

∴AC=

∴AG=GC=  ………………10分

在面ACC₁A₁中，△AGA₁，△GCE為直角三角形

∵∠A₁GE=90°∴∠EGC+∠A₁GA=90°，∴∠EGC=∠AA₁G，

∴Rt△A₁AG∽Rt△ECG ………………12分

解法二：

   （I）證明：取AB的中點G，連接GD

∵底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AB=2

∴△ABD是正三角形，∴DG⊥AB，DG=

又∵AB//CD，∴DG⊥DC   …………2分

∵四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁為直四棱柱，AA₁//DD₁

A₁A⊥底面ABCD，∴DD₁⊥底面ABCD

以D為坐標(biāo)原點，射線DG為x軸的正半軸，射線DC為y軸的正半軸，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D―xyz.

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