已知圓過點P.Q兩點.且在y軸上截得的線段長為4.則該圓的方程為 . 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直線l1過定點A(1，0)．
(1)若l1與圓相切，求l1的方程；
(2)若l1與圓相交于P、Q兩點，線段PQ的中點為M，又l1與l2：x＋2y＋2＝0的交點為N，判斷AM·AN是否為定值？若是，則求出定值；若不是，請說明理由．

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已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直線l1過定點A(1，0)．
(1)若l1與圓相切，求l1的方程；
(2)若l1與圓相交于P、Q兩點，線段PQ的中點為M，又l1與l2：x＋2y＋2＝0的交點為N，判斷AM·AN是否為定值？若是，則求出定值；若不是，請說明理由．

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已知圓C經(jīng)過P(4，－2)，Q(－1，3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4，半徑小于5．

(1)求直線PQ與圓C的方程；

(2)若直線l∥PQ，l與圓C交于點A、B，且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求直線l的方程．

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已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝16．

(Ⅰ)求過點P(－3，3)的圓的切線方程；

(Ⅱ)作直線l：kx－y－k＝0，若直線l與圓C交于Q、R兩點，且直線l與直線l1：x＋2y＋4＝0的交點為M，線段QR的中點為N，若A(1，0)，求證：|AM·|AN|為定值．

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已知圓C經(jīng)過P(4，－2)，Q(－1，3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4，半徑小于5．

(1)求直線PQ與圓C的方程．

(2)若直線l∥PQ，且l與圓C交于點A、B，∠AOB＝90°，求直線l的方程．

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1.解析：設(shè)F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),則

|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2),

即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,

又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|?|PF2|,

依雙曲線定義，有|PF1|－|PF2|=4,

依已知條件有|PF1|?|PF2|=|F1F2|2=4c2

∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜6ec8aac122bd4f6e,

又∵c2=4+b2＜6ec8aac122bd4f6e,∴b2＜6ec8aac122bd4f6e,∴b2=1.

答案：1

2.解法一：設(shè)所求圓的圓心為P(a,b），半徑為r,則點P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|

∵圓P截y軸所得弦長為2，∴r2=a2+1

又由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90°,故弦長|AB|=6ec8aac122bd4f6er,故r2=2b2,從而有2b2－a2=1

又∵點P(a,b)到直線x－2y=0的距離d=6ec8aac122bd4f6e,

因此，5d2=|a－2b|2=a2+4b2－4ab≥a2+4b2－2(a2+b2)=2b2－a2=1,

當且僅當a=b時上式等號成立，此時5d2=1,從而d取最小值，為此有6ec8aac122bd4f6e,

∵r2=2b2, ∴r2=2

于是所求圓的方程為：(x－1）2+(y－1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2

解法二：設(shè)所求圓P的方程為(x－a)2+(y－b)2=r2(r＞0)

設(shè)A(0,y1),B(0,y2)是圓與y軸的兩個交點，則y1、y2是方程a2+(y－b)2=r2的兩根，

∴y1，2=b±6ec8aac122bd4f6e

由條件①得|AB|=2，而|AB|=|y1－y2|,得r2－a2=1

設(shè)點C(x1,0)、D(x2,0)為圓與x軸的兩個交點，則x1,x2是方程(x－a)2+b2=r2的兩個根，

∴x1，2=a±6ec8aac122bd4f6e

由條件②得|CD|=6ec8aac122bd4f6er,又由|CD|=|x2－x1|，得2b2=r2,故2b2=a2+1

設(shè)圓心P(a,b)到直線x－2y=0的距離為d=6ec8aac122bd4f6e

∴a－2b=±6ec8aac122bd4f6ed,得a2=(2b±6ec8aac122bd4f6ed)2=4b2±46ec8aac122bd4f6ebd+5d2

又∵a2=2b2－1,故有2b2±46ec8aac122bd4f6ebd+5d2+1=0.把上式看作b的二次方程，

∵方程有實根.

∴Δ=8(5d2－1)≥0,得5d2≥1.

∴dmin=6ec8aac122bd4f6e,將其代入2b2±46ec8aac122bd4f6ebd+5d2+1=0,

得2b2±4b+2=0,解得b=±1.

從而r2=2b2=2,a=±6ec8aac122bd4f6e=±1

于是所求圓的方程為(x－1)2+(y－1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2

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一、1.解析：將直線方程變?yōu)?i>x=3－2y,代入圓的方程x2+y2+x－6y+m=0,

得(3－2y)2+y2+(3－2y)+m=0.

整理得5y2－20y+12+m=0,設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)

則y1y2=6ec8aac122bd4f6e,y1+y2=4.

又∵P、Q在直線x=3－2y上，

∴x1x2=(3－2y1)(3－2y2)=4y1y2－6(y1+y2)+9

故y1y2+x1x2=5y1y2－6(y1+y2)+9=m－3=0，故m=3.

答案：A

2.解析：由題意，可設(shè)橢圓方程為：6ec8aac122bd4f6e =1,且a2=50+b2,

即方程為6ec8aac122bd4f6e=1.

將直線3x－y－2=0代入，整理成關(guān)于x的二次方程.

由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.

答案：C

二、3.解析：所求橢圓的焦點為F1(－1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|.

欲使2a最小，只需在直線l上找一點P.使|PF1|+|PF2|最小，利用對稱性可解.?

答案：6ec8aac122bd4f6e =1

4.解析：設(shè)所求圓的方程為(x－a)2+(y－b)2=r2

則有6ec8aac122bd4f6e  6ec8aac122bd4f6e

由此可寫所求圓的方程.

答案：x2+y2－2x－12=0或x2+y2－10x－8y+4=0

三、5.解：|MF|max=a+c,|MF|min=a－c,則(a+c)(a－c)=a2－c2=b2,

∴b2=4,設(shè)橢圓方程為6ec8aac122bd4f6e                                                                    ①

設(shè)過M1和M2的直線方程為y=－x+m                                                               ②

將②代入①得：(4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a2=0                                                  ③

設(shè)M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中點為(x0,y0),

則x0=6ec8aac122bd4f6e (x1+x2)=6ec8aac122bd4f6e,y0=－x0+m=6ec8aac122bd4f6e.

代入y=x,得6ec8aac122bd4f6e,

由于a2＞4,∴m=0,∴由③知x1+x2=0,x1x2=－6ec8aac122bd4f6e,

又|M1M2|=6ec8aac122bd4f6e,

代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求橢圓方程為：6ec8aac122bd4f6e =1.

6.解：以拱頂為原點，水平線為x軸，建立坐標系，

如圖，由題意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐標分別為(－10，－4）、(10，－4）

設(shè)拋物線方程為x2=－2py,將A點坐標代入，得100=－2p×(－4),解得p=12.5,

于是拋物線方程為x2=－25y.

6ec8aac122bd4f6e

由題意知E點坐標為(2，－4)，E′點橫坐標也為2，將2代入得y=－0.16,從而|EE′|=

(－0.16)－(－4)=3.84.故最長支柱長應(yīng)為3.84米.

7.解：由e=6ec8aac122bd4f6e,可設(shè)橢圓方程為6ec8aac122bd4f6e=1,

又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=2,

又6ec8aac122bd4f6e=1,兩式相減，得6ec8aac122bd4f6e=0,

即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0.

化簡得6ec8aac122bd4f6e=－1,故直線AB的方程為y=－x+3,

代入橢圓方程得3x2－12x+18－2b2=0.

有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=6ec8aac122bd4f6e,

得6ec8aac122bd4f6e，解得b2=8.

故所求橢圓方程為6ec8aac122bd4f6e=1.

 

 


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