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19、下面（A），（B），（C），（D）為四個平面圖形：

	交點數(shù)	邊數(shù)	區(qū)域數(shù)
（A）	4	5	2
（B）	5	8
（C）		12	5
（D）		15

（1）數(shù)出每個平面圖形的交點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)，并將相應(yīng)結(jié)果填入表格；
（2）觀察表格，若記一個平面圖形的交點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)分別為E，F(xiàn)，G，試猜想E，F(xiàn)，G之間的等量關(guān)系（不要求證明）；
（3）現(xiàn)已知某個平面圖形有2010個交點，且圍成2010個區(qū)域，試根據(jù)以上關(guān)系確定該平面圖形的邊數(shù)．

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（A）（不等式選講）不等式log₃（|x-4|+|x+5|）＞a對于一切x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

；
（B） （幾何證明選講）如圖，已知在△ABC中，∠C=90°，正方形DEFC內(nèi)接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC=1，BC=2，則正方形DEFC的邊長等于

 

；
（C） （極坐標(biāo)系與參數(shù)方程）曲線ρ=2sinθ與ρ=2cosθ相交于A，B兩點，則直線AB的方程為

 

．

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（A）（幾何證明選講選做題）如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3cm，4cm，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點D，則BD的長為=

16

5

16

5

；
（B）（不等式選講選做題）關(guān)于x的不等式|x-1|+|x-2|≤a²+a+1的解集為空集，則實數(shù)a的取值范圍是

（-1，0）

（-1，0）

；
（C）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知極坐標(biāo)的極點在直角坐標(biāo)系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的參數(shù)方程為

x=3cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-

π

3

)=6．點P在曲線C上，則點P到直線l的距離的最小值為

6-

3

6-

3

．

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一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12： BC.

二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分．

13．3； 14．-4； 15．1； 16．．

三、解答題：本大題共6個小題，共74分．解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17．解：（Ⅰ）∵l₁∥l₂，，

∴，????????????????????????? 3分

∴，

∴．??????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時�。ⅲ剑ⅲ�??? 8分

∵，∴，???????????? 10分

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時�。ⅲ剑ⅲ�

故△ABC面積取最大值為．?????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）ξ=3表示取出的三個球中數(shù)字最大者為3．

①三次取球均出現(xiàn)最大數(shù)字為3的概率；??????????? 1分

②三次取球中有2次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率；????? 3分

③三次取球中僅有1次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率．????? 5分

∴P(ξ=3)=P₁＋P₂＋P₃=．??????????????????????? 6分

（Ⅱ）在ξ＝k時, 利用（Ⅰ）的原理可知：

（k=1、2、3、4）．?? 8分

則ξ的概率分布列為：

ξ

1

2

3

4

P

??????????????????????????????????? 10分

∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1×＋2×＋3×＋4× = ．????????? 12分

19．（Ⅰ）證明：∵四邊形AA₁C₁C是菱形，∴AA₁＝A₁C₁＝C₁C＝CA＝1，∴△AA₁B是等邊三角形，設(shè)O是AA₁的中點，連接BO，則BO⊥AA₁． 2分

∵側(cè)面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，∴BO⊥平面AA₁C₁C，菱形AA₁C₁C面積為，知C到AA₁的距離為，，∴△AA₁C₁是等邊三角形，且C₁O⊥AA₁，又C₁O∩BO=O．

∴AA₁⊥面BOC₁，又BC₁Ì面BOC₁．∴AA₁⊥BC₁．??????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC₁、OB兩兩垂直，以O(shè)為原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．則，，，．??????????????????????????? 5分

設(shè)是平面ABC的一個法向量，

則即

令，則．設(shè)A₁到平面ABC的距離為d．

∴．????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一個法向量是，又平面ACC₁的一個法向量．    9分

∴．????????????????? 11分

∴二面角B－AC－C₁的余弦值是．??????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ），對稱軸方程為，故函數(shù)在[0,1]上為增函數(shù)，∴．???????????????????????? 2分

當(dāng)時，．?????????????????????????? 3分

∵            ①

∴       ②

②-①得，即，?????????????? 4分

則，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．

∴，∴．?????????????? 6分

（Ⅱ）∵，∴．

∵???????????????? 7分

可知：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．

即????????????????????? 10分

可知存在正整數(shù)或6，使得對于任意的正整數(shù)n，都有成立．??? 12分

21．解：（Ⅰ）設(shè)，，，

，，，

，，

．∵，

∴，∴，∴．?????????????????? 2分

則N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，則，．

∴橢圓的方程為．?????????????????????? 4分

（Ⅱ）∵圓O與直線l相切，則，即,????????? 5分

由消去y得．

∵直線l與橢圓交于兩個不同點，設(shè)，

，

∴，，?????????????????? 7分

∴，

由，，．????? 8分

．??????????? 9分

（或）．

設(shè)，則，，，

令，則，

∴在時單調(diào)遞增，????????????????????? 11分

∴S關(guān)于μ在區(qū)間單調(diào)遞增，，，

∴．???????????????????????????? 12分

（或，

∴S關(guān)于u在區(qū)間單調(diào)遞增，???????????????????? 11分

∵，，．）???????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）因為，，則，   1分

當(dāng)時，；當(dāng)時，．

∴在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在處取得極大值．???????????????????? 2分

∵函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，

∴解得．??????????????????????? 3分

（Ⅱ）不等式，即為，???????????? 4分

記，∴，?? 5分

令，則，∵，∴，在上遞增，

∴，從而，故在上也單調(diào)遞增，

∴，

∴．??????????????????????????????? 7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，即，??? 8分

令則，??????????????? 9分

∴，

，

，

………

，??????????????????????? 10分

疊加得：

．???????????????????? 12分

則，

∴.???????????????????? 14