18．已知點(diǎn)A.試在y軸和直線y=x上各取一點(diǎn)B.C.使△ABC的周長(zhǎng)最小. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1．(a＞b＞0)，其中短軸長(zhǎng)和焦距相等，且過(guò)點(diǎn)M(2，
2
)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P（x0，y0）在橢圓C的外部，過(guò)P做橢圓的兩條切線PM、PN，其中M、N為切點(diǎn)，則MN的方程為
x0x
a2
+
y0y
b2
=1．已知點(diǎn)P在直線x+y-4=0上，試求橢圓右焦點(diǎn)F到直線MN的距離的最小值．

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已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1．(a＞b＞0)，其中短軸長(zhǎng)和焦距相等，且過(guò)點(diǎn)M(2，
2
)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P（x0，y0）在橢圓C的外部，過(guò)P做橢圓的兩條切線PM、PN，其中M、N為切點(diǎn)，則MN的方程為
x0x
a2
+
y0y
b2
=1．已知點(diǎn)P在直線x+y-4=0上，試求橢圓右焦點(diǎn)F到直線MN的距離的最小值．

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已知直三棱柱中, , ， 是和的交點(diǎn), 若.

（1）求的長(zhǎng)；  （2）求點(diǎn)到平面的距離；

（3）求二面角的平面角的正弦值的大小.

【解析】本試題主要考查了距離和角的求解運(yùn)用。第一問(wèn)中，利用ACCA為正方形, AC=3

第二問(wèn)中，利用面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD=，第三問(wèn)中，利用三垂線定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值為

解法一: (1)連AC交AC于E, 易證ACCA為正方形, AC=3 ……………  5分

(2)在面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD= … 8分

(3) 易得AC面ACB, 過(guò)E作EHAB于H, 連HC, 則HCAB

CHE為二面角C－AB－C的平面角. ………  9分

sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為 ……… 12分

解法二: (1)分別以直線CB、CC、CA為x、y為軸建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)|CA|=h, 則C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ………………………  3分

=(2, －, －), =(0, －3, －h(huán))  ……… 4分

·=0,  h=3

(2)設(shè)平面ABC得法向量=(a, b, c),則可求得=(3, 4, 0) (令a=3)

點(diǎn)A到平面ABC的距離為H=||=……… 8分

(3) 設(shè)平面ABC的法向量為=(x, y, z),則可求得=(0, 1, 1) (令z=1)

二面角C－AB－C的大小滿足cos== ………  11分

二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為

 

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已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓C過(guò)點(diǎn)（1，1）和點(diǎn)（-2，4），且圓心在y軸上．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如果過(guò)點(diǎn)P（1，0）的直線l與圓C有公共點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍；
（3）如果過(guò)點(diǎn)P（1，0）的直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2
3
，試求直線l的方程．

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1―10.CAACB  CCCDB，11．（1，1），12．（-2，3），13．5，14．D=E，15．m＞-1/2

16．因?yàn)椋?sup>2－ｙ2＝0表示過(guò)原點(diǎn)的兩條互相垂直的直線：y=x，y=-x，（x-a）2+y2=1表示圓心為C（a，0），半徑為1的動(dòng)圓，本題討論方程組有實(shí)數(shù)解的問(wèn)題即討論圓與直線有公共點(diǎn)的問(wèn)題。（1）-≤a≤；（2）當(dāng)-＜a＜-1或-1＜a＜1或1＜a＜時(shí)有四組實(shí)數(shù)解，當(dāng)a=±1時(shí)，有三組實(shí)數(shù)解，當(dāng)a=±時(shí)，有兩組實(shí)數(shù)解，當(dāng)a＜-或a＞時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)解。

17．以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系。設(shè)A（-5，0），則B（5，0），在平面內(nèi)任取一點(diǎn)P（x，y），設(shè)從A運(yùn)貨物到P的運(yùn)費(fèi)為2a元/km，則從B運(yùn)到P的費(fèi)用是a元/km，若P地居民選擇在A地購(gòu)買此商品，則

即P點(diǎn)在圓C

的內(nèi)部.換言之,圓C內(nèi)部的居民應(yīng)在A地購(gòu)買,同理可推得圓C外部的應(yīng)在B地購(gòu)物，圓C上的居民可隨意選擇A、B兩地之一購(gòu)物。

18．嘗試使用對(duì)稱法，如圖作A點(diǎn)關(guān)于y軸

的對(duì)稱點(diǎn)A1，再作A點(diǎn)關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)A2，

在y軸和y=x上公別取點(diǎn)B、 C，則|BA|=|BA1|，

|AC|=|A2C|，于是△ABC的周長(zhǎng)

|AB|+|BC|+|CA|=|A1B|+|BC|+|CA2|，

從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在y軸，y=x上各取一點(diǎn)，使

折線A1BCA2的長(zhǎng)度最小。B（0，-17/5）和C（-17/8，-17/8）

19．（1）配方得圓心，將心坐標(biāo)消去m可得直線a：x-3y-3=0

   （2）設(shè)與直線a平行的直線c：x-3y+b=0（b≠-3），則圓心到直線a的距離為

，∵圓的半徑r=5，∴當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交，當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切，當(dāng)d＞r時(shí)直線與圓相離。（3）對(duì)于任一條平行于a且與圓相交的直線的直線c，由于圓心到直線c的距離都與m無(wú)關(guān)，所以弦長(zhǎng)與m無(wú)關(guān)。

20．△ABC為直角三角形，如國(guó)圖建立直角坐標(biāo)系，

則A（0，0）、B（4，0）、C（0，3），設(shè)內(nèi)切圓半徑

為r，則r=1/2（|OC|+|OB|-|BC|）=1，故內(nèi)切圓方程為

（x-1）2+（y-1）2=1，可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（1+Cosα，1+Sinα）

則以PA、PB、PC為直徑的三個(gè)圓面積之和S=（10-Cｏｓα）

當(dāng)Cosα=-1時(shí)，Smax=5.5π,

當(dāng)Cosα=1時(shí), Smin=4.5π.

 


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