已知，（其中）

⑴求及；

⑵試比較與的大小，并說明理由．

【解析】第一問中取，則；                         …………1分

對等式兩邊求導(dǎo)，得

取，則得到結(jié)論

第二問中，要比較與的大小，即比較：與的大小，歸納猜想可得結(jié)論當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

猜想：當(dāng)時(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可。

解：⑴取，則；                         …………1分

對等式兩邊求導(dǎo)，得，

取，則。       …………4分

⑵要比較與的大小，即比較：與的大小，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；                              …………6分

猜想：當(dāng)時(shí)，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

由上述過程可知，時(shí)結(jié)論成立，

假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即，

當(dāng)時(shí),

而

∴

即時(shí)結(jié)論也成立，

∴當(dāng)時(shí)，成立。                          …………11分

綜上得，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)， 

 

設(shè)A是由m×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個(gè)數(shù)的絕對值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記s(m，n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合。

對于A∈S(m,n),記r_i(A)為A的第ⅰ行各數(shù)之和（1≤ⅰ≤m），C_j(A)為A的第j列各數(shù)之和（1≤j≤n）：

記K(A)為∣r₁(A)∣,∣R₂(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C₁(A)∣,∣C₂(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。

（1）   對如下數(shù)表A，求K（A）的值；

1	1	-0.8
0.1	-0.3	-1

 

（2）設(shè)數(shù)表A∈S（2,3）形如

1	1	c
a	b	-1

 

求K（A）的最大值；

（3）給定正整數(shù)t，對于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值。

【解析】（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912442510881234/SYS201207091244551401982556_ST.files/image001.png">，

所以

（2）  不妨設(shè).由題意得.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912442510881234/SYS201207091244551401982556_ST.files/image006.png">，所以，

于是，，

    

所以，當(dāng)，且時(shí)，取得最大值1。

（3）對于給定的正整數(shù)t，任給數(shù)表如下，

		…
		…

任意改變A的行次序或列次序，或把A中的每一個(gè)數(shù)換成它的相反數(shù)，所得數(shù)表

，并且，因此，不妨設(shè)，

且。

由得定義知，，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912442510881234/SYS201207091244551401982556_ST.files/image030.png">

所以

     

     

所以，

對數(shù)表：

1	1	…	1		…
		…		-1	…	-1

 

則且，

綜上，對于所有的，的最大值為

 

設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0,1]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且恒有0≤f(x)≤1，可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算由曲線y＝f(x)及直線x＝0，x＝1，y＝0所圍成部分的面積S.先產(chǎn)生兩組(每組N個(gè))區(qū)間[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x₁，x₂，…，x_N和y₁，y₂，…，y_N，由此得到N個(gè)點(diǎn)(x_i，y_i)(i＝1,2，…，N).再數(shù)出其中滿足y_i≤f(x_i)(i＝1,2，…，N)的點(diǎn)數(shù)N₁，那么由隨機(jī)模擬方法可得S的近似值為　　　　.

已知，設(shè)和是方程的兩個(gè)根，不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立；函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).求使“P且Q”為真命題的實(shí)數(shù)的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了命題和函數(shù)零點(diǎn)的運(yùn)用。由題設(shè)x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

當(dāng)a∈[1,2]時(shí)，的最小值為3. 當(dāng)a∈[1,2]時(shí)，的最小值為3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|對任意實(shí)數(shù)a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判別式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

可得到要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真即可。

解：由題設(shè)x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

當(dāng)a∈[1,2]時(shí)，的最小值為3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|對任意實(shí)數(shù)a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判別式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

綜上，要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真，即

解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4,8]

 

已知集合A＝{1.3. }，B＝{1，m} ,AB＝A, 則m=

A、0或    B、0或3      C、1或       D、1或3

【解析】因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821171349753116/SYS201207182117181068654294_ST.files/image004.png">,所以,所以或.若，則,滿足.若，解得或.若，則，滿足.若，顯然不成立，綜上或，選B.