題目列表(包括答案和解析)
已知向量夾角為 ,且;則
【解析】因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912420929634592/SYS201207091242343432627474_ST.files/image005.png">,所以,即,所以,整理得,解得或(舍去).
已知遞增等差數(shù)列滿(mǎn)足:,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若不等式對(duì)任意恒成立,試猜想出實(shí)數(shù)的最小值,并證明.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問(wèn)中,利用設(shè)數(shù)列公差為,
由題意可知,即,解得d,得到通項(xiàng)公式,第二問(wèn)中,不等式等價(jià)于,利用當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。
解:(1)設(shè)數(shù)列公差為,由題意可知,即,
解得或(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等價(jià)于,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
而,所以猜想,的最小值為. …………8分
下證不等式對(duì)任意恒成立.
方法一:數(shù)學(xué)歸納法.
當(dāng)時(shí),,成立.
假設(shè)當(dāng)時(shí),不等式成立,
當(dāng)時(shí),, …………10分
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,顯然成立.所以,對(duì)任意,不等式恒成立.…14分
方法二:?jiǎn)握{(diào)性證明.
要證
只要證 ,
設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式, …………10分
, …………12分
所以對(duì),都有,可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.
而,所以恒成立,
故的最小值為.
已知,函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程;
(2)求函數(shù)在[-1,1]的極值;
(3)若在上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使>g(xo)成立,求正實(shí)數(shù)的取值范圍。
【解析】本試題中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。(1)中,那么當(dāng)時(shí), 又 所以函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程為;(2)中令 有
對(duì)a分類(lèi)討論,和得到極值。(3)中,設(shè),,依題意,只需那么可以解得。
解:(Ⅰ)∵ ∴
∴ 當(dāng)時(shí), 又
∴ 函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程為 --------4分
(Ⅱ)令 有
① 當(dāng)即時(shí)
(-1,0) |
0 |
(0,) |
(,1) |
||
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
極大值 |
極小值 |
故的極大值是,極小值是
② 當(dāng)即時(shí),在(-1,0)上遞增,在(0,1)上遞減,則的極大值為,無(wú)極小值。
綜上所述 時(shí),極大值為,無(wú)極小值
時(shí) 極大值是,極小值是 ----------8分
(Ⅲ)設(shè),
對(duì)求導(dǎo),得
∵,
∴ 在區(qū)間上為增函數(shù),則
依題意,只需,即
解得 或(舍去)
則正實(shí)數(shù)的取值范圍是(,)
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