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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分14分)

已知函數(shù)

(1)證明:

(2)若數(shù)列的通項公式為,求數(shù)列 的前項和;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(3)設數(shù)列滿足:,設,

若(2)中的滿足對任意不小于2的正整數(shù),恒成立,

試求的最大值。

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(本小題滿分14分)已知,點軸上,點軸的正半軸,點在直線上,且滿足,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(Ⅰ)當點軸上移動時,求動點的軌跡方程;

(Ⅱ)過的直線與軌跡交于、兩點,又過、作軌跡的切線、,當,求直線的方程.

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(本小題滿分14分)設函數(shù)

 (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

 (2)若當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

 (3)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根,求實數(shù)的取值范圍。

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(本小題滿分14分)

已知,其中是自然常數(shù),

(1)討論時, 的單調(diào)性、極值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(2)求證:在(1)的條件下,;

(3)是否存在實數(shù),使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

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(本小題滿分14分)

設數(shù)列的前項和為,對任意的正整數(shù),都有成立,記

(I)求數(shù)列的通項公式;

(II)記,設數(shù)列的前項和為,求證:對任意正整數(shù)都有

(III)設數(shù)列的前項和為。已知正實數(shù)滿足:對任意正整數(shù)恒成立,求的最小值。

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一.選擇題:DDCAB DDDAB

解析:1:,

,

而i,j為互相垂直的單位向量,故可得。故選

2:∵ ∴0<b<a<1. 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知:,又∵ ∴選(D)

3:作y=與y=的圖象,從圖中可以看出:兩曲線有3個交點,即方程有3個實根.選(C)


4:由斜率去篩選,則可排除(C)、(D);再用點(-1,3)去篩選,代入(A)成立,

 ∴應選(A).

 

5:取α= ±、±,代入求出sinα、tanα 、cotα 的值,易知α=-適合題設條件,∴應選(B).


      M - i
              2 

6:由復數(shù)模的幾何意義,畫出右圖,可知當圓上的點到M的距離最大時即為|z-i|最大。所以選D

 

7: ∵球的半徑R不小于△ABC的外接圓半徑r=, 則S=4πR2≥4πr2π>5π,故選(D).

8:當θ0時,sin(sinθ)0,cosθ1,cos(cosθ)cos1,故排除A,B.

當θ時,cos(sinθ)cos1,cosθ0,故排除C,因此選D.

9:由于的含義是于是若成立,則有成立;同理,若成立,則也成立,以上與指令“供選擇的答案中只有一個正確”相矛盾,故排除.再考慮,取代入得,顯然,排除.故選.

10:選項暗示我們,只要判斷出直線的條數(shù)就行,無須具體求出直線方程。以A(1,2)為圓心,1為半徑作圓A,以B(3,1)為圓心,2為半徑作圓B。由平面幾何知識易知,滿足題意的直線是兩圓的公切線,而兩圓的位置關(guān)系是相交,只有兩條公切線。故選B。

 

二.填空題:11、;12、; 13、;14、-1;15、4,;

解析:

11: ,顯然集合M中有90個元素,其真子集的個數(shù)是,應填.

12:容易發(fā)現(xiàn),于是   原式=,應填

13:記橢圓的二焦點為,有

則知

    顯然當,即點P位于橢圓的短軸的頂點處時,m取得最大值25.

    故應填

14.(略)

15.(略)

三.解答題:

16.解:(1)由題設,得

-----------------3分

因為垂直   即

. 又,故,∴的值為2.   ------------------6分

(2)當垂直時,

 ------------------8分

,則------------------10分

  ------------------12分

17.解:(I)基本事件總數(shù)為,

若使方程有實根,則,即。------------------2分

時,;  當時,; ------------------3分

 當時,;   當時,;  ------------------4分

 當時,;     當時,,      ------------------5分

目標事件個數(shù)為

 因此方程 有實根的概率為------------------6分

(II)由題意知,,則 ,,

的分布列為

0

1

2

P

的數(shù)學期望    ------------------10分

(III)記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5”為事件M,“方程 有實根” 為事件N,則,   .------------------12分

18.解:(Ⅰ),                            

由題意得,的兩個根,

解得,.                      ------------------2分

再由可得

.  ------------------4分

(Ⅱ)

時,;當時,;------------------5分
時,;當時,;------------------6分
時,.∴函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù);------------------7分
在區(qū)間上是減函數(shù);在區(qū)間上是增函數(shù).
函數(shù)的極大值是,極小值是.         ------------------9分

(Ⅲ)函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移個單位,向上平移4個單位得到,

所以,函數(shù)在區(qū)間上的值域為).-------------10分

,∴,即.                           

于是,函數(shù)在區(qū)間上的值域為.------------------12分

的單調(diào)性知,,即

綜上所述,應滿足的條件是:,且------------------14分

 

19.(Ⅰ)證明:連結(jié),連結(jié).

是正方形,∴ 的中點. ----------1分

的中點, ∴的中位線.  ∴.  ----------2分

 又∵平面, 平面, ----------3分

平面.------------------4分

(II)如圖,以A為坐標原點,建立空間直角坐標系,

故設,則

.  ----------6分

*底面

是平面的法向量,.----------7分

設平面的法向量為,

,

 

  即 

 ∴     令,則.  ----------9分

,

∴二面角的余弦值為. ------------------10分

(III),

----------11分

   又.----------12分

.  又平面    ----------13分

 ∴平面⊥平面.     ------------------14分

 

20.解:(Ⅰ)易知,橢圓的半焦距為:,

 又拋物線的準線為:.    ----------2分

設雙曲線M的方程為,依題意有

,又.

∴雙曲線M的方程為. ----------4分

(Ⅱ)設直線與雙曲線M的交點為、兩點

聯(lián)立方程組 消去y得  ,-------5分

、兩點的橫坐標是上述方程的兩個不同實根, ∴

,

從而有,.   ----------7分

.

①     若,則有 ,即 .

∴當時,使得.    ----------10分

② 若存在實數(shù),使A、B兩點關(guān)于直線對稱,則必有 ,

因此,當m=0時,不存在滿足條件的k;

時,由

  

∵A、B中點在直線上,

,代入上式得

,又, ∴----------13分

代入并注意到,得 .

∴當時,存在實數(shù),使A、B兩點關(guān)于直線對稱----------14分

 

21.解(I)三角形數(shù)表中前行共有個數(shù),

 第行最后一個數(shù)應當是所給奇數(shù)列中的第項。

  故第行最后一個數(shù)是        

  因此,使得的m是不等式的最小正整數(shù)解。----------4分

  由得

  ----------6分

于是,第45行第一個數(shù)是 

     ----------7分

(II),。 

故        ----------9分

 第n行最后一個數(shù)是,且有n個數(shù),若將看成第n行第一個數(shù),則第n行各數(shù)成公差為-2的等差數(shù)列,故。

  故

   ,

    兩式相減得:

                 

        ----------13分

         ----------14分


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