題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分14分)
已知函數(shù)。
(1)證明:
(2)若數(shù)列的通項公式為,求數(shù)列 的前項和;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)設數(shù)列滿足:,設,
若(2)中的滿足對任意不小于2的正整數(shù),恒成立,
試求的最大值。
(本小題滿分14分)已知,點在軸上,點在軸的正半軸,點在直線上,且滿足,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)當點在軸上移動時,求動點的軌跡方程;
(Ⅱ)過的直線與軌跡交于、兩點,又過、作軌跡的切線、,當,求直線的方程.(本小題滿分14分)設函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根,求實數(shù)的取值范圍。(本小題滿分14分)
已知,其中是自然常數(shù),
(1)討論時, 的單調(diào)性、極值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求證:在(1)的條件下,;
(3)是否存在實數(shù),使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
(本小題滿分14分)
設數(shù)列的前項和為,對任意的正整數(shù),都有成立,記。
(I)求數(shù)列的通項公式;
(II)記,設數(shù)列的前項和為,求證:對任意正整數(shù)都有;
(III)設數(shù)列的前項和為。已知正實數(shù)滿足:對任意正整數(shù)恒成立,求的最小值。
一.選擇題:DDCAB DDDAB
解析:1:∵,
∴
∴,
而i,j為互相垂直的單位向量,故可得∴。故選
2:∵ ∴0<b<a<1. 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知:,又∵ ∴選(D)
3:作y=與y=的圖象,從圖中可以看出:兩曲線有3個交點,即方程有3個實根.選(C)
4:由斜率去篩選,則可排除(C)、(D);再用點(-1,3)去篩選,代入(A)成立,
∴應選(A).
5:取α= ±、±,代入求出sinα、tanα 、cotα 的值,易知α=-適合題設條件,∴應選(B).
M - i
2
6:由復數(shù)模的幾何意義,畫出右圖,可知當圓上的點到M的距離最大時即為|z-i|最大。所以選D
7: ∵球的半徑R不小于△ABC的外接圓半徑r=, 則S球=4πR2≥4πr2=π>5π,故選(D).
8:當θ0時,sin(sinθ)0,cosθ1,cos(cosθ)cos1,故排除A,B.
當θ時,cos(sinθ)cos1,cosθ0,故排除C,因此選D.
9:由于的含義是于是若成立,則有成立;同理,若成立,則也成立,以上與指令“供選擇的答案中只有一個正確”相矛盾,故排除.再考慮,取代入得,顯然,排除.故選.
10:選項暗示我們,只要判斷出直線的條數(shù)就行,無須具體求出直線方程。以A(1,2)為圓心,1為半徑作圓A,以B(3,1)為圓心,2為半徑作圓B。由平面幾何知識易知,滿足題意的直線是兩圓的公切線,而兩圓的位置關(guān)系是相交,只有兩條公切線。故選B。
二.填空題:11、;12、; 13、或;14、-1;15、4,;
解析:
11: ,顯然集合M中有90個元素,其真子集的個數(shù)是,應填.
12:容易發(fā)現(xiàn),于是 原式=,應填
13:記橢圓的二焦點為,有
則知
顯然當,即點P位于橢圓的短軸的頂點處時,m取得最大值25.
故應填或
14.(略)
15.(略)
三.解答題:
16.解:(1)由題設,得
-----------------3分
因為與垂直 即
. 又,故,∴的值為2. ------------------6分
(2)當垂直時,
------------------8分
,則------------------10分
------------------12分
17.解:(I)基本事件總數(shù)為,
若使方程有實根,則,即。------------------2分
當時,; 當時,; ------------------3分
當時,; 當時,; ------------------4分
當時,; 當時,, ------------------5分
目標事件個數(shù)為
因此方程 有實根的概率為------------------6分
(II)由題意知,,則 ,,
故的分布列為
0
1
2
P
的數(shù)學期望 ------------------10分
(III)記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有
18.解:(Ⅰ),
由題意得,是的兩個根,
解得,. ------------------2分
再由可得.
∴. ------------------4分
(Ⅱ),
當時,;當時,;------------------5分
當時,;當時,;------------------6分
當時,.∴函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù);------------------7分
在區(qū)間上是減函數(shù);在區(qū)間上是增函數(shù).
函數(shù)的極大值是,極小值是. ------------------9分
(Ⅲ)函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移個單位,向上平移4個單位得到,
所以,函數(shù)在區(qū)間上的值域為().-------------10分
而,∴,即.
于是,函數(shù)在區(qū)間上的值域為.------------------12分
令得或.
由的單調(diào)性知,,即.
綜上所述,、應滿足的條件是:,且------------------14分
19.(Ⅰ)證明:連結(jié)交于,連結(jié).
是正方形,∴ 是的中點. ----------1分
是的中點, ∴是的中位線. ∴. ----------2分
又∵平面, 平面, ----------3分
∴平面.------------------4分
(II)如圖,以A為坐標原點,建立空間直角坐標系,
由故設,則
. ----------6分
底面,
∴是平面的法向量,.----------7分
設平面的法向量為,
,
則 即
∴ 令,則. ----------9分
∴,
∴二面角的余弦值為. ------------------10分
(III), ,
----------11分
又且.----------12分
. 又平面 ----------13分
∴平面⊥平面. ------------------14分
20.解:(Ⅰ)易知,橢圓的半焦距為:,
又拋物線的準線為:. ----------2分
設雙曲線M的方程為,依題意有,
故,又.
∴雙曲線M的方程為. ----------4分
(Ⅱ)設直線與雙曲線M的交點為、兩點
聯(lián)立方程組 消去y得 ,-------5分
∵、兩點的橫坐標是上述方程的兩個不同實根, ∴
∴,
從而有,. ----------7分
又,
∴.
① 若,則有 ,即 .
∴當時,使得. ----------10分
② 若存在實數(shù),使A、B兩點關(guān)于直線對稱,則必有 ,
因此,當m=0時,不存在滿足條件的k;
當時,由 得
∵A、B中點在直線上,
∴,代入上式得
,又, ∴----------13分
將代入并注意到,得 .
∴當時,存在實數(shù),使A、B兩點關(guān)于直線對稱----------14分
21.解(I)三角形數(shù)表中前行共有個數(shù),
第行最后一個數(shù)應當是所給奇數(shù)列中的第項。
故第行最后一個數(shù)是
因此,使得的m是不等式的最小正整數(shù)解。----------4分
由得
----------6分
于是,第45行第一個數(shù)是
----------7分
(II),。
故 ----------9分
第n行最后一個數(shù)是,且有n個數(shù),若將看成第n行第一個數(shù),則第n行各數(shù)成公差為-2的等差數(shù)列,故。
故
,
兩式相減得:
----------13分
----------14分
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