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如圖，直三棱柱中， ，  ，是的中點，△是等腰三角形，為的中點，為上一點．

（1）若∥平面，求；
（2）平面將三棱柱分成兩個部分，求較小部分與較大部分的體積之比．

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如圖，直三棱柱中， ，，是的中點，△是等腰三角形，為的中點，為上一點．

（1）若∥平面，求；
（2）求直線和平面所成角的余弦值．

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如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面積是等腰直角三角形，∠A₁C₁B₁=90°，A₁C₁=1，AA₁=

2

，N、M分別是線段B₁B、AC₁的中點．
（I）證明：MN∥平面ABC；
（II）求A₁到平面AB₁C₁的距離
（III）求二面角A₁-AB₁-C₁的大�。�

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一、 選擇題：1. A  2. B  3. D  4. B  5. A  6. A  7. C  8. C  9. D  10. C 

11. C  12. B

二、 填空題：13. 7；14. 111；15. 323；16. 3

三、 解答題：

17. 解：(1) ∵f(0)=8，

∴………………2分

即  ∴………………………6分

(2) 由(1)知：…………………7分

……………………8分

…………………9分

………………………10分

∴，此時 (k∈Z)………………………11分

即 (k∈Z）時，.……………………………12分

18. 解：(1) ，…3分

∴分布列為：

0

1

2

………………………………………………5分

∴……………………………7分

(2) ……………………12分

19. 解：(1) 設(shè)數(shù)列的前n項和為，由題意知：

即?，兩式相減可得：………………………2分

∴ (n∈)…………………………4分

設(shè)數(shù)列的前n項和為，由題意知：，即

兩式相除可得：，則………………………6分

∴ (n∈)………………………8分

(2) 假設(shè)存在，則，

為正整數(shù).

故存在p，滿足………………12分

20. 解法一：(1) 連結(jié)交BD于F.

∵D為中點，，

∴，

Rt△BCD∽Rt△，∴∠=∠CDB，

∴⊥BD………………2分

∵直三棱柱中，平面ABC⊥平面，

又AC⊥BC，∴AC⊥平面，∴AC⊥BD，

AC∩=C，BD⊥平面，∴⊥BD…………………4分

又在正方形中，⊥…………………………………5分

∴⊥平面.……………………………6分

(2) 設(shè)與交于點M，AC=1，連結(jié)AF、MF，

由(1)知BD⊥平面，∴MF⊥BD，AF⊥BD，

∴∠AFM是二面角A-BD-的平面角………………………9分

在Rt△AFB中，AB=，BF=，∠AFB = 90°，

∴AF=，又，∠AMF = 90°，∴sin∠AFM=，∴∠AFM=，

故二面角A-BD-的大小為.…………………………12分

方法二：直三棱柱中，∠ACB=90°，

以C為原點O，CB、、CA分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)AC=2，

則B(2,0,0)，,,A(0,0,2),D(0, ,0)…………………2分

(1) ，，，

，，…………………4分

∴⊥BD，⊥，又∩BD=D，

∴⊥平面；……………………………6分

(2) 由(1)知⊥平面，且，…8分

設(shè)，且⊥，⊥

∵,，

∴,，即2x-2z=0，-2x+2y=0，令x=1，

得平面ABD的一法向量，………………10分

又，∴，

∴二面角的大小為.…………………………………12分

21. 解：(1) 設(shè)P(x,y)代入得點P的軌跡方程為.……5分

(2) 設(shè)過點C的直線斜率存在時的方程為，且A(),B()在上，則由代入得

.…………………6分

∴，.

∴.………………8分

令，∴＝.…8分

∵≥0，∴≤＜0，∴.………………10分

當(dāng)過點C的直線斜率不存在時，其方程為x=-1，解得,.此時.11分

所以的取值范圍為.………………12分

22. 解:(1) ……3分

∵＞0.以下討論函數(shù)的情況.

① 當(dāng)a≥0時，≤-1＜0，即＜0.

所以在R上是單調(diào)遞減的.…………………………5分

② 當(dāng)a＜0時，的兩根分別為且＜.

在（-∞, ）和（,+∞）上＞0，即＞0.

所以函數(shù)的遞增區(qū)間為（-∞, ）和（,+∞）；

同理函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為（，）.………………9分

綜上所述：當(dāng)a≥0時，在R上是單調(diào)遞減的；

當(dāng)a＜0時，在（-∞, ）和（,+∞）上單調(diào)遞增，

在（，）上是單調(diào)遞減的.………………………10分

(2) 當(dāng)-1＜a＜0時，＜1, =＞2,………12分

∴當(dāng)x∈［1,2］時，是單調(diào)遞減的.………………13分

∴. ………………………………14分