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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分16分)已知函數(shù).（Ⅰ）當時，求證：函數(shù)在上單調遞增；（Ⅱ）若函數(shù)有三個零點，求的值；

（Ⅲ）若存在，使得，試求的取值范圍.

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(本小題滿分16分) 設為實數(shù)，函數(shù). (1)若，求的取值范圍； (2)求的最小值； (3)設函數(shù)，求不等式的解集.

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(本小題滿分16分)

按照某學者的理論，假設一個人生產某產品單件成本為元，如果他賣出該產品的單價為元，則他的滿意度為；如果他買進該產品的單價為元，則他的滿意度為.如果一個人對兩種交易(賣出或買進)的滿意度分別為和，則他對這兩種交易的綜合滿意度為.

現(xiàn)假設甲生產A、B兩種產品的單件成本分別為12元和5元，乙生產A、B兩種產品的單件成本分別為3元和20元，設產品A、B的單價分別為元和元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為

(1)求和關于、的表達式；當時，求證：=；

(2)設，當、分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？ (3)記(2)中最大的綜合滿意度為，試問能否適當選取、的值，使得和同時成立，但等號不同時成立？試說明理由。

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(本小題滿分16分)已知⊙和點.

（Ⅰ）過點向⊙引切線，求直線的方程；

（Ⅱ）求以點為圓心，且被直線截得的弦長4的⊙的方程；

（Ⅲ）設為（Ⅱ）中⊙上任一點，過點向⊙引切線，切點為Q. 試探究：平面內是否存在一定點，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由.

 

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(本小題滿分16分)已知⊙和點.

（Ⅰ）過點向⊙引切線，求直線的方程；

（Ⅱ）求以點為圓心，且被直線截得的弦長為   4的⊙的方程；

（Ⅲ）設為（Ⅱ）中⊙上任一點，過點向⊙引切線，切點為Q. 試探究：平面內是否存在一定點，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由.

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一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分.

1.         2.       3.         4.25         5.         6.

7.            8.③               9.6              10.50%(填0.5，都算對)

11.          12.＜              13.12             14.或

二、解答題：本大題共6小題，計90分.

15.解:（Ⅰ）當時，點P共有28個，而滿足的點P有19個，

從而所求的概率為………………………………………………………………………(7分)

   （Ⅱ）當時,由構成的矩形的面積為,而滿足

的區(qū)域的面積為，故所求的概率為……………………………………(14分)

16.證:(Ⅰ)連接交于,連接.

∵分別是的中點，∴∥且=,∴四邊形是矩形.

∴是的中點………………………………………………………………………………(3分)

又∵是的中點,∴∥……………………………………………………………(5分)

則由,,得∥………………………………………(7分)

(注:利用面面平行來證明的,類似給分)

(Ⅱ) ∵在直三棱柱中，⊥底面,∴⊥.

又∵,即⊥,∴⊥面………………………(9分)

而面,∴⊥……………………………………………………………(12分)

又,∴平面……………………………………………………………(14分)

17. 解:(Ⅰ)由,得

,所以………………………………………………(4分)

則,所以……………………………………………………(7分)

   (Ⅱ)方案一：選擇①③.

∵A=30°,a=1,2c-(+1)b=0，所以，則根據(jù)余弦定理，

得，解得b=,則c=…………………(11分)

∴…………………………………(14分)

方案二：選擇②③. 可轉化為選擇①③解決,類似給分.

(注：選擇①②不能確定三角形)

18. 解:（Ⅰ）,即,

  ,準線,……………………………………………………(2分)

  設⊙C的方程為,將O、F、A三點坐標代入得：

,解得………………………………………………………(4分)

∴⊙C的方程為……………………………………………………(5分)

（Ⅱ）設點B坐標為,則,整理得：

對任意實數(shù)都成立……………………………………………(7分)

∴,解得或,

故當變化時，⊙C經過除原點O外的另外一個定點B……………………………(10分)

（Ⅲ）由B、、得,

 ∴,解得……………………………………………(12分)

   又 ,∴………………………………………………………………(14分)

又橢圓的離心率（）……………………(15分)

 ∴橢圓的離心率的范圍是………………………………………………………(16分)

19. (Ⅰ)證:因為對任意正整數(shù)，總成立,

令，得,則…………………………………………(1分)

令，得  (1) , 從而   (2),

(2)－(1)得,…………………………………………………………………(3分)

綜上得,所以數(shù)列是等比數(shù)列…………………………………………(4分)

（Ⅱ）正整數(shù)成等差數(shù)列，則,所以,

則……………………………………………………(7分)

①當時，………………………………………………………………(8分)

②當時，…………………………(9分)

③當時，……………………(10分)

（Ⅲ）正整數(shù)成等比數(shù)列，則,則,

所以，……………(13分)

①當,即時，……………………………………………(14分)

②當,即時，………………………………(15分)

③當,即時，………………………………(16分)

20. 解: (Ⅰ)當時,.

因為當時,,,

且,

所以當時,,且……………………………………(3分)

由于,所以,又,

故所求切線方程為,

即…………………………………………………………………(5分)

   (Ⅱ) 因為,所以,則  

                                                          

  

當時,因為,,

所以由,解得,

從而當時, ……………………………………………(6分)

①     當時,因為,,

所以由,解得,

從而當時, …………………………………………(7分)

③當時,因為,

從而 一定不成立………………………………………………………………(8分)

綜上得,當且僅當時,,

故 …………………………………………(9分)

從而當時,取得最大值為…………………………………………………(10分)

(Ⅲ)“當時,”等價于“對恒成立”,

即“(*)對恒成立” ……………………………………(11分)

①     當時,,則當時,,則(*)可化為

,即,而當時,,

所以,從而適合題意………………………………………………………………(12分)

②     當時,.

⑴     當時,(*)可化為,即,而,

所以,此時要求

 

…………………………………………………………(13分)

⑵        當時,(*)可化為,

所以,此時只要求………………………………………………………(14分)

(3)當時,(*)可化為,即,而,

所以,此時要求…………………………………………………………(15分)

由⑴⑵⑶,得符合題意要求.

 綜合①②知,滿足題意的存在,且的取值范圍是………………………………(16分)

 

 

數(shù)學附加題部分

21.A.解：因為PA與圓相切于點A,所以.而M為PA的中點,

所以PM=MA,則.

又,所以,所以……………………(5分)

在中,由,

即,所以,

從而……………………………………………………………………………(10分)

B．解:,所以=……………………………(5分)

即在矩陣的變換下有如下過程,,

則,即曲線在矩陣的變換下的解析式為……(10分)

C．解:由題設知,圓心,故所求切線的直角坐標方程

為……………………………………………………………………………(6分)

      從而所求切線的極坐標方程為………………………………(10分)

D．證:因為,利用柯西不等式,得…………………………(8分)

  即………………………………………………………………………(10分)

22．解: (Ⅰ)以A為原點,AB、AC、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系A－xyz，

則A(0，0，0),B(2，0，0),C(0，2，0),E(0，1，0),P(0，0，1),

所以,……………………………(4分)

故異面直線BE與PC所成角的余弦值為……………………………………(5分)

(Ⅱ)作PM⊥BE交BE(或延長線)于M,作CN⊥BE交BE(或延長線)于N,

則存在實數(shù)m、n,使得,即

因為,所以

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