拋物線y=x²在直角坐標系中向下平移4個單位得到拋物線y₁，y₁與x軸的交點為A₁、B₁，與y軸的交點為O₁，A₁、B₁、O₁對應(yīng)y=x²上的點依次為A、B、O．
（1）寫出y₁的解析式及A、B兩點的坐標；
（2）求拋物線Y和y₁及線段AA₁和BB₁圍成的圖形的面積；
（3）若平行于x軸的一條直線y=m與拋物線y交于P、Q兩點，與拋物線y₁交于R、S兩點，且P、Q兩點三等分線段RS，求m的值；
（4）若正比例函數(shù)y=kx（k≠0）與拋物線y₁交于M、N兩點，問點O能否平分線段MN，并說明理由．

拋物線y=ax²+2x+3（a＜0）交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，頂點為D，而且經(jīng)過點（2，3）．
（1）寫出拋物線的解析式及C、D兩點的坐標；
（2）連接BC，以BC為邊向右作正方形BCEF，求E、F兩點的坐標；若將此拋物線沿其對稱軸向上平移，試判斷平移后的拋物線是否會同時經(jīng)過正方形BCEF的兩個頂點E、F？若能，寫出平移后的拋物線解析式；若不能，請說明理由；
（3）若P是拋物線y=ax²+2x+3上任意一點，過點P作直線垂直于拋物線y=ax²+2x+3的對稱軸，垂足為Q，那么是否存在著這樣的點P，使以P、Q、D為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，請求出P點的坐標；若不能，請說明理由．

拋物線y=ax²+2x+3（a＜0）交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，頂點為D，而且經(jīng)過點（2，3）．
（1）寫出拋物線的解析式及C、D兩點的坐標；
（2）連接BC，以BC為邊向右作正方形BCEF，求E、F兩點的坐標；若將此拋物線沿其對稱軸向上平移，試判斷平移后的拋物線是否會同時經(jīng)過正方形BCEF的兩個頂點E、F？若能，寫出平移后的拋物線解析式；若不能，請說明理由；
（3）若P是拋物線y=ax²+2x+3上任意一點，過點P作直線垂直于拋物線y=ax²+2x+3的對稱軸，垂足為Q，那么是否存在著這樣的點P，使以P、Q、D為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，請求出P點的坐標；若不能，請說明理由．