題目列表(包括答案和解析)
某校數(shù)學課外小組在坐標紙上,為學校的一塊空地設計植樹方案如下:
第k棵樹種植在點,
當表示非負實數(shù)a的整數(shù)部分,例如T(2.6)=2,T(0.2)=0.按此方案第2012棵樹種植點的坐標應為 。
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1.D 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
9. 10. 11.5 10 12.
13.② 14.
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15.(共13分)
解:(Ⅰ)
.
因為函數(shù)的最小正周期為,且,
所以,解得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
因為,
所以,
所以,
因此,即的取值范圍為.
16.(共14分)
解法一:
(Ⅰ)取中點,連結.
,
.
,
.
,
平面.
平面,
.
(Ⅱ),,
.
又,
.
又,即,且,
平面.
取中點.連結.
,.
是在平面內的射影,
.
是二面角的平面角.
在中,,,,
.
二面角的大小為.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面,
平面平面.
過作,垂足為.
平面平面,
平面.
的長即為點到平面的距離.
由(Ⅰ)知,又,且,
平面.
平面,
.
在中,,,
.
.
點到平面的距離為.
解法二:
(Ⅰ),,
.
又,
.
,
平面.
平面,
.
(Ⅱ)如圖,以為原點建立空間直角坐標系.
則.
設.
,
,.
取中點,連結.
,,
,.
是二面角的平面角.
,,,
.
二面角的大小為.
(Ⅲ),
在平面內的射影為正的中心,且的長為點到平面的距離.
如(Ⅱ)建立空間直角坐標系.
,
點的坐標為.
.
點到平面的距離為.
17.(共13分)
解:(Ⅰ)記甲、乙兩人同時參加崗位服務為事件,那么,
即甲、乙兩人同時參加崗位服務的概率是.
(Ⅱ)記甲、乙兩人同時參加同一崗位服務為事件,那么,
所以,甲、乙兩人不在同一崗位服務的概率是.
(Ⅲ)隨機變量可能取的值為1,2.事件“”是指有兩人同時參加崗位服務,
則.
所以,的分布列是
1
3
18.(共13分)
解:
.
令,得.
當,即時,的變化情況如下表:
0
當,即時,的變化情況如下表:
0
所以,當時,函數(shù)在上單調遞減,在上單調遞增,
在上單調遞減.
當時,函數(shù)在上單調遞減,在上單調遞增,在上單調遞減.
當,即時,,所以函數(shù)在上單調遞減,在上單調遞減.
19.(共14分)
解:(Ⅰ)由題意得直線的方程為.
因為四邊形為菱形,所以.
于是可設直線的方程為.
由得.
因為在橢圓上,
所以,解得.
設兩點坐標分別為,
則,,,.
所以.
所以的中點坐標為.
由四邊形為菱形可知,點在直線上,
所以,解得.
所以直線的方程為,即.
(Ⅱ)因為四邊形為菱形,且,
所以.
所以菱形的面積.
由(Ⅰ)可得,
所以.
所以當時,菱形的面積取得最大值.
20.(共13分)
(Ⅰ)解:,
,
;
,
.
(Ⅱ)證明:設每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列為,
則為,,,,,
從而
.
又,
所以
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