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（本題滿分12分）如圖所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中點，O為AE的中點，以AE為折痕，將△ADE向上折起，使D到P，且PC=PB
（1）求證：PO⊥面ABCE；
（2）求AC與面PAB所成角的正弦值.

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（本題滿分12分）
如圖所示，在矩形中，的中點，F(xiàn)為BC的中點，O為AE的中點，以AE為折痕將△ADE向上折起，使D到P點位置，且．

（1）求證：
（2）求二面角E-AP-B的余弦值．

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一.選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

C

A

A

B

D

A

D

D

A

B

A

二.填空題

   13. .;       14. ;      15. 15;         16. ,可以填寫任意實數(shù)

三、解答題

17．（Ⅰ）

(Ⅱ)

由得,從而,即 .所以,函數(shù)與軸交點的橫坐標(biāo)為.           12分

18.由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學(xué)生人數(shù)分別為5、25和20．

（I）該班學(xué)生參加活動的人均次數(shù)為=．     3分

（II）從該班中任選兩名學(xué)生，他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率為．                                               6分

（III）從該班中任選兩名學(xué)生，記“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加2次活動”為事件，“這兩人中一人參加2次活動，另一人參加3次活動”為事件，“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加3次活動”為事件．易知

；                     8分

.                                     10分

的分布列：

0

1

2

的數(shù)學(xué)期望：．                            12分

19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中點，

∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，

易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC    

又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，

∴BE⊥面D′EC，又CD′面D′EC，∴BE⊥CD′ 6分

（Ⅱ）法一：設(shè)M是線段EC的中點，過M作MF⊥BC

垂足為F，連接D′M，D′F，則D′M⊥EC

∵平面D′EC⊥平面BEC，∴D′M⊥平面EBC，

∴MF是D′F在平面BEC上的射影，

由三垂線定理得：D′F⊥BC，∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.

在Rt△D′MF中，�！�，

即二面角D′―BC―E的正切值為.                         12分

法二：如圖，以EB，EC為x軸，y軸，過E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

設(shè)平面BEC的法向量為；平面D′BC的法向量為

由.取 

∴。 

∴二面角D′―BC―E的的正切值為.

20. (Ⅰ）設(shè)C方程為，則b = 1.

∴橢圓C的方程為  …………………………………………………6分

（Ⅱ）假設(shè)存在直線,使得點是的垂心.易知直線的斜率為，從而直線的斜率為1.設(shè)直線的方程為，代如橢圓的方程，并整理可得.設(shè)，則，.于是

解之得或.

當(dāng)時，點即為直線與橢圓的交點，不合題意.當(dāng)時，經(jīng)檢驗知和橢圓相交，符合題意.  所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線的方程為時, 點是的垂心.        12分

21. （Ⅰ）注意到當(dāng)時, 直線是拋物線的對稱軸，分以下幾種情況討論.

(1) 當(dāng)a>0時，函數(shù)y=, 的圖象是開口向上的拋物線的一段，

由<0知在上單調(diào)遞增，∴.

(2)當(dāng)a=0時，, ,∴.      3分

(3)當(dāng)a<0時,函數(shù)y=, 的圖象是開口向下的拋物線的一段，

若，即則                4分

若，即,則       5分

若，即,則.              6分

綜上有                                7分

（Ⅱ）當(dāng)時，，所以， g(a)在上單調(diào)遞增，于是由g(a)的不減性知等價于或

解之得或.所以，的取值范圍為.               12分

22.(Ⅰ)對一切有，即  ,      ()                            4分

由及兩式相減,得:

       ∴是等差數(shù)列,且, .                                    8分

說明:本小題也可以運用先猜后證(數(shù)學(xué)歸納法)的方法求解.給分時,猜想正確得3分,證明給5分.

(Ⅱ) 由,知,因此,只需證明.                                              10分

當(dāng)或時,結(jié)論顯然成立.當(dāng)時,

所以,原不等式成立.                                                          14分