題目列表(包括答案和解析)
數(shù)學(xué)(理)
第I卷(共60分)
一、選擇題(每小題5分,共60分)
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
C
C
A
A
A
A
D
B
A
A
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空題(每小題4分,共16分)
13. 14.3 15.97 16.③
三、解答題(共74分)
17.(本小題滿分12分)
(I)的內(nèi)角和。
,
(Ⅱ)
當(dāng)即時(shí),取最大值
18.(本題滿分12分)
記A:該夫婦生一個(gè)小孩是患病男孩,B:該夫婦生一個(gè)小孩是患病女孩:C:該夫婦生一個(gè)小孩是不患病男孩;D:該夫婦生一個(gè)小孩是不患病女孩,則
(I)
(Ⅱ)顯然,的取值為0,1,2,3
所以的分布列為
0
1
2
3
顯然,,故
19.(本題滿分12分)
解法一:(I)證明:連接,設(shè),連接DE
三棱柱是正三棱柱,且,
四邊形是正方形,
∴E是的中點(diǎn),又是的中點(diǎn),
∴
∵平面平面,
∴平面
(Ⅱ)解:在平面內(nèi)作于點(diǎn),在面;內(nèi)作于連接。
∵平面平面,∴平面,
∵是在平面上的射影,
∴是二面角的平面角
設(shè)在正中,
在中,在中,
從而
所以,二面角的平面角的余弦值為
解法二:建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
(I)證明:連接設(shè),連接,設(shè)
則
平面平面平面
(Ⅱ)解:∵
設(shè)是平面的法向量,則,且
故,取,得;
同理,可求得平面的法向量是
設(shè)二面角的大小為,則
所以,二面角的平面角的余弦值為
20.(本題滿分12分)
(I)
在上是增函數(shù),
在上恒成立,即恒成立。
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立),
所以
(Ⅱ)設(shè),則
(1)當(dāng)時(shí),最小值為;
(2)當(dāng)時(shí),最小值為
21.(本題滿分12分)
(I)將代入得,整理得
由得,故
(Ⅱ)當(dāng)兩條切線的斜率都存在而且不等于時(shí),設(shè)其中一條的斜率為k,
則另外一條的斜率為
于是由上述結(jié)論可知橢圓斜率為k的切線方程為
①
又橢圓斜率為的切線方程為
②
由①得
由②得
兩式相加得
于是,所求P點(diǎn)坐標(biāo)滿足因此,
當(dāng)一條切線的斜率不存在時(shí),另一條切線的斜率必為0,此時(shí)顯然也有
所以為定值。
22.(本題滿分14分)
(I)由知
當(dāng)時(shí),,化簡(jiǎn)得
①
以代替得
②
兩式相減得
則,其中
所以,數(shù)列為等差數(shù)列
(Ⅱ)由,結(jié)合(I)的結(jié)論知
于是不等式
因此,欲證原不等式成立,只需證即
令,則在上恒正,
在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),恒有
其他解法參照以上評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)評(píng)分
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