如圖，已知雙曲線C：的右準(zhǔn)線l₁與一條漸近線l₂交于點(diǎn)M，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求證：；
（II）若||=1且雙曲線C的離心率，求雙曲線C的方程；
（III）在（II）的條件下，直線l₃過(guò)點(diǎn)A（0，1）與雙曲線C右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q且P在A、Q之間，滿足，試判斷λ的范圍，并用代數(shù)方法給出證明．

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如圖，已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右準(zhǔn)線l₁與一條漸近線l₂交于點(diǎn)M，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求證：

OM

⊥

MF

；
（II）若|

MF

|=1且雙曲線C的離心率e=

6

2

，求雙曲線C的方程；
（III）在（II）的條件下，直線l₃過(guò)點(diǎn)A（0，1）與雙曲線C右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q且P在A、Q之間，滿足

AP

=λ

AQ

，試判斷λ的范圍，并用代數(shù)方法給出證明．

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如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點(diǎn)，P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于x軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知四邊形OFPM為平行四邊形，|PF|=λ|OF|，
（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率e與λ的關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)λ=1時(shí)，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn)，若|AB|=12，求此時(shí)的雙曲線方程。

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一、A；A；C；D；A；A； C；C；B；C；C；A

二、13、或； 14、80；  15、-2；16、 ；

17、解：⑴

………………………………………3分

時(shí)，由得函數(shù)的遞增區(qū)間為

時(shí)，由得函數(shù)的遞增區(qū)間為…………………………………………5分

⑵

……………………………………………7分

時(shí)，得：（舍）

時(shí)，得

綜上，……………………………………………………10分

18、解：用分別表示三列火車正點(diǎn)到達(dá)的事件，則

⑴恰有兩列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率記為,則

……………………………………………4分

⑵用表示誤點(diǎn)的列數(shù)，則至少兩列誤點(diǎn)可表示為：

………………………………………………………6分

19．解：方法一：（I）證明：，

又平面平面ABCD，平面平面ABCD＝BC，

平面ABCD ……2分

   在梯形ABCD中，可得

   ，即

    在平面ABCD內(nèi)的射影為AO，                  ……4分

   （II）解：，且平面平面ABCD

    平面PBC， 平面PBC，

    為二面角P―DC―B的平面角                                 ……6分

    是等邊三角形即二面角P―DC―B的大小為 …8分

 （III）證明：取PB的中點(diǎn)N，連結(jié)CN， ①

    ，且平面平面ABCD，平面PBC  ……10分

    平面PAB    平面平面PAB  ②

     由①、②知平面PAB…………..10分

連結(jié)DM、MN，則由MN//AB//CD，，

得四邊形MNCD為平行四邊形，，平面PAB．

平面PAD    平面平面PAB ……………….12分

方法二：取BC的中點(diǎn)O，因?yàn)?sub>是等邊三角形，

    由側(cè)面底面ABCD    得底面ABCD ……1分

以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O―xyz……2分

（I）證明：，則在直角梯形中，

    在等邊三角形PBC中，……3分

    ，即…4分

 （II）解：取PC中點(diǎn)N，則

    平面PDC，顯然，且平面ABCD

    所夾角等于所求二面角的平面角                         ……6分

 ，二面角的大小為             ……8分

（III）證明：取PA的中點(diǎn)M，連結(jié)DM，則M的坐標(biāo)為

    又                                         ……10分

，

    即

平面PAB，平面平面PAB                         ……12分

20．解：Ⅰ由已知得： ……………………………………2分

當(dāng)解得：…………………………………………3分

當(dāng)時(shí)，，帶入上式得：

配方得：

所以……………………………………………5分

所以……………………………………7分

Ⅱ

……………………………………………………………………10分

………………………12分

21．解：（I）右準(zhǔn)線，漸近線

    ，

                     ……3分

    （II）

雙曲線C的方程為：               ……7分

    （III）由題意可得                           ……8分

    證明：設(shè)，點(diǎn)

    由得

    與雙曲線C右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q

                                ……11分

    ，得

的取值范圍是（0，1）                            ……13分

22解：⑴

則，所以……………………………3分

；由此可知

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值……………………………………………………………6分

⑵在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，

所以在區(qū)間上恒成立，有二次函數(shù)的圖像可知：

；令……………………………………………9分

當(dāng)直線經(jīng)過(guò)交點(diǎn)時(shí)，取得最小值…………………………………13分