題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分14分)
已知函數(shù)。
(1)證明:
(2)若數(shù)列的通項公式為,求數(shù)列 的前項和;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)設數(shù)列滿足:,設,
若(2)中的滿足對任意不小于2的正整數(shù),恒成立,
試求的最大值。
(本小題滿分14分)已知,點在軸上,點在軸的正半軸,點在直線上,且滿足,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)當點在軸上移動時,求動點的軌跡方程;
(Ⅱ)過的直線與軌跡交于、兩點,又過、作軌跡的切線、,當,求直線的方程.(本小題滿分14分)設函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)若關于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根,求實數(shù)的取值范圍。(本小題滿分14分)
已知,其中是自然常數(shù),
(1)討論時, 的單調(diào)性、極值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求證:在(1)的條件下,;
(3)是否存在實數(shù),使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
(本小題滿分14分)
設數(shù)列的前項和為,對任意的正整數(shù),都有成立,記。
(I)求數(shù)列的通項公式;
(II)記,設數(shù)列的前項和為,求證:對任意正整數(shù)都有;
(III)設數(shù)列的前項和為。已知正實數(shù)滿足:對任意正整數(shù)恒成立,求的最小值。
一、 選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個備選項中,有且只有一項是符合要求的.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
A
C
B
B
C
A
二、 填空題:本大題共7小題,每小題5分,共30分.其中13~15小題是選做題,考生只能選做兩題,若三題全答,則只計算前兩題得分.
9. 10. 11.
12.②③ 13.,
14., 15.,
三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16. 解:(Ⅰ)因為,,所以
.
因此,當,即()時,取得最大值;
(Ⅱ)由及得,兩邊平方得
,即.
因此,.
17. 解:(Ⅰ)記“小球落入袋中”為事件,“小球落入袋中”為事件,則事件的對立事件為,而小球落入袋中當且僅當小球一直向左落下或一直向右落下,故
,
從而;
(Ⅱ)顯然,隨機變量,故
,
.
18. 解: 建立如圖所示的空間直角坐標系,
并設,則
(Ⅰ),,
所以,從而得
;
(Ⅱ)設是平面的
法向量,則由,及
,
得
可以取.
顯然,為平面的法向量.
設二面角的平面角為,則此二面角的余弦值
.
19. 解:(Ⅰ)依題意,有(),化簡得
(),
這就是動點的軌跡的方程;
(Ⅱ)依題意,可設、、,則有
,
兩式相減,得,由此得點的軌跡方程為
().
設直線:(其中),則
,
故由,即,解之得的取值范圍是.
20. 解:(Ⅰ)依題意知:直線是函數(shù)在點處的切線,故其斜率
,
所以直線的方程為.
又因為直線與的圖像相切,所以由
,
得(不合題意,舍去);
(Ⅱ)因為(),所以
.
當時,;當時,.
因此,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
因此,當時,取得最大值;
(Ⅲ)當時,.由(Ⅱ)知:當時,,即.因此,有
.
21. 解:(Ⅰ),,;
(Ⅱ)依題意,得,,由此及得
,
即.
由(Ⅰ)可猜想:().
下面用數(shù)學歸納法予以證明:
(1)當時,命題顯然成立;
(2)假定當時命題成立,即有,則當時,由歸納假設及
得,即
,
解之得
(不合題意,舍去),
即當時,命題成立.
由(1)、(2)知:命題成立.
(Ⅲ)
.
令(),則,所以在上是增函數(shù),故當時,取得最小值,即當時,.
(,)
,即()
.
解之得,實數(shù)的取值范圍為.
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