題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;
(Ⅲ)對任意給定的正實數(shù),曲線上是否存在兩點P、Q,使得是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上?說明理由.
【解析】第一問當時,,則。
依題意得:,即 解得
第二問當時,,令得,結合導數(shù)和函數(shù)之間的關系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值
第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設,則,顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
(Ⅰ)當時,,則。
依題意得:,即 解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①當時,,令得
當變化時,的變化情況如下表:
0 |
|||||
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
單調(diào)遞減 |
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
單調(diào)遞減 |
又,,。∴在上的最大值為2.
②當時, .當時, ,最大值為0;
當時, 在上單調(diào)遞增!在最大值為。
綜上,當時,即時,在區(qū)間上的最大值為2;
當時,即時,在區(qū)間上的最大值為。
(Ⅲ)假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設,則,顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
若,則代入(*)式得:
即,而此方程無解,因此。此時,
代入(*)式得: 即 (**)
令 ,則
∴在上單調(diào)遞增, ∵ ∴,∴的取值范圍是。
∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。
因此,對任意給定的正實數(shù),曲線上存在兩點P、Q,使得是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上
已知函數(shù)f(x)=x2-1(x≥1)的圖象是C1,函數(shù)y=g(x)的圖象C2與C1關于直線y=x對稱.
(1)求函數(shù)y=g(x)的解析式及定義域M;
(2)對于函數(shù)y=h(x),如果存在一個正的常數(shù)a,使得定義域A內(nèi)的任意兩個不等的值x1,x2都有|h(x1)-h(x2)|≤a|x1-x2|成立,則稱函數(shù)y=h(x)為A的利普希茨Ⅰ類函數(shù).試證明:y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ類函數(shù);
(3)設A、B是曲線C2上任意不同兩點,證明:直線AB與直線y=x必相交.
(1)求函數(shù)y=g(x)的解析式及定義域M;
(2)對于函數(shù)y=h(x),如果存在一個正的常數(shù)a,使得定義域A內(nèi)的任意兩個不等的值x1,x2都有|h(x1)-h(x2)|≤a|x1-x2|成立,則稱函數(shù)y=h(x)為A的利普希茨Ⅰ類函數(shù).試證明:y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ類函數(shù);
(3)設A、B是曲線C2上任意不同兩點,證明:直線AB與直線y=x必相交.
對于三次函數(shù).
定義:(1)設是函數(shù)的導數(shù)的導數(shù),若方程有實數(shù)解,則稱點為函數(shù)的“拐點”;
定義:(2)設為常數(shù),若定義在上的函數(shù)對于定義域內(nèi)的一切實數(shù),都有成立,則函數(shù)的圖象關于點對稱.
己知,請回答下列問題:
(1)求函數(shù)的“拐點”的坐標
(2)檢驗函數(shù)的圖象是否關于“拐點”對稱,對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關“拐點”的結論(不必證明)
(3)寫出一個三次函數(shù),使得它的“拐點”是(不要過程)
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