題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分14分)
已知函數(shù)。
(1)證明:
(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,求數(shù)列 的前項(xiàng)和;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)設(shè)數(shù)列滿足:,設(shè),
若(2)中的滿足對(duì)任意不小于2的正整數(shù),恒成立,
試求的最大值。
(本小題滿分14分)已知,點(diǎn)在軸上,點(diǎn)在軸的正半軸,點(diǎn)在直線上,且滿足,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(Ⅱ)過(guò)的直線與軌跡交于、兩點(diǎn),又過(guò)、作軌跡的切線、,當(dāng),求直線的方程.(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍。(本小題滿分14分)
已知,其中是自然常數(shù),
(1)討論時(shí), 的單調(diào)性、極值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求證:在(1)的條件下,;
(3)是否存在實(shí)數(shù),使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.
(本小題滿分14分)
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)任意的正整數(shù),都有成立,記。
(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(II)記,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:對(duì)任意正整數(shù)都有;
(III)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為。已知正實(shí)數(shù)滿足:對(duì)任意正整數(shù)恒成立,求的最小值。
一、選擇題: 1.B 2.B 3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.A 9.C 10.B
二、填空題: 11. 12. 13. 14. 15.1
三、解答題:
16.解: (Ⅰ)解:, (1分)
(3分)
(4分)
(6分)
(Ⅱ)解: (7分)
由 得 (8分)
由 得 (9分)
(11分)
(12分)
17解: 設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為am,后側(cè)邊長(zhǎng)為bm,則ab=800m2. (2分)
∴蔬菜的種植面積, (5分)
∵,
∴, (7分)
∴(m2), (9分)
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí), m2. (11分)
答:當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為40m,后側(cè)邊長(zhǎng)為20m時(shí),蔬菜的種植面積最大,最大種植面積為648 m2. (12分)
18解:(Ⅰ)證明:,
∴,則 (2分)
又,則
∴ (4分)
(Ⅱ)證明:依題意可知:是中點(diǎn)
則,而
∴是中點(diǎn) (6分)
在中,
∴ (8分)
(Ⅲ)解:
∴,而
∴ ∴ (10分)
是中點(diǎn)
∴是中點(diǎn) ∴且
∴
∴中,
∴ (12分)
∴ (14分)
19解: 圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程為: (2分)
假設(shè)存在以AB為直徑的圓M,圓心M的坐標(biāo)為(a,b)
由于、 (5分)
直線的方程為 (6分)
(7分)
即: ② (10分)
由①②得: (11分)
當(dāng) (12分)
當(dāng) (13分)
故這樣的直線l 是存在的,方程為x-y+4=0或x-y+1=0. (14分)
20解: 解(Ⅰ) al0=10, a20=10+10d=40, ∴d=3 (2分)
(Ⅱ) a30= a20+10d=10(1+d+d2) (d≠0) (4分)
a30=10[(d+)2+],
當(dāng)d∈(-∞, 0)∪(0, +∞)時(shí), a30∈[,+∞]. (7分)
(Ⅲ) 續(xù)寫(xiě)數(shù)列: 數(shù)列a30,a31,…,a40是公差為d4的等差數(shù)列 (8分)
一般地,可推廣為:無(wú)窮數(shù)列{ an},其中al,a2…,a10是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列,
當(dāng)n≥1時(shí), 數(shù)列a10n,a10n+1,…,a10(n+1)是公差為dn的等差數(shù)列. (9分)
研究的問(wèn)題可以是:試寫(xiě)出a10(n+1)關(guān)于d的關(guān)系式,并求a10(n+1)的取值范圍 (11分)
研究的結(jié)論可以是: 由a40= a30+10d3=10(1+d+d2+ d3),
依次類(lèi)推可得 a10(n+1)= 10(1+d+d2+…+ dn)= 10?(d≠1),
10(n+1) (d=1)
當(dāng)d>0時(shí), a10(n+1)的取值范圍為(10, +∞)等 (14分)
21解:(Ⅰ)由過(guò)點(diǎn)P且以P(1,-2)為切點(diǎn)的直線的斜率,
所求直線方程: (3分)
(Ⅱ)設(shè)過(guò)P(1,-2)的直線l與切于另一點(diǎn)
知:
即:
或故所求直線的斜率為:
即 (8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知則
在上單調(diào)遞增, (11分)
在
得
為兩極值點(diǎn),在時(shí),
上單調(diào)遞增,
即
(14分)
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