=（-4，0，4）          

=（-4，4，-4），=（0，4，4），

B₁（4，4，0）、E（2，0，8）、A（4，0，8）、B（4，4，8）、

F（0，4，4）。            

69、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練)已知長方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=4，AA₁=8，E、F分別為AD和CC₁的中點，O₁為下底面正方形的中心。

    （Ⅰ）證明：AF⊥平面FD₁B₁；

（Ⅱ）求異面直線EB與O₁F所成角的余弦值；               

解 本題考查空間的線面關(guān)系，向量法及其運算。

（Ⅰ）證法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系。則D₁（0，0，0）、O₁（2，2，0）

∴二面角B-PQ-D大小為arctan

    由△GHQ∽△QC₁P得GH=，又BG=1，得tan∠BHG=

PF=，PE=2  ∴EF=  又D₁E=，D₁D=1，∴AD=1    

取CD中點G，連BG，由AB∥DG，AB=DG得GB∥AD。∵AD⊥DC，AD⊥DD₁∴AD⊥平面DCC₁D₁，則BG⊥平面DCC₁D₁

    過G作GH⊥PQ于H，連BH，則BH⊥PQ，故∠BHG是二面角B-PQ-D的平面角。                                                    

又D₁Q=AB=1，D₁Q∥AB，

得平行四邊形ABQD₁，故AD₁∥平面BPQ

∴平面ACD₁∥平面BPQ

  ∴AC∥平面BPQ         （4分）

⑵設(shè)DD₁中點為E，連EF，則PE∥CD

∵CD⊥AD，CD⊥DD₁   ∴CD⊥平面ADD₁

∴PE⊥平面ADD₁

過E作EF⊥AD₁于F，連PF。則PF⊥AD₁，PF為點P到直線AD₁的距離

AD₁的距離為

⑴求證：AC∥平面BPQ

⑵求二面角B-PQ-D的大小

⑴連接CD₁ ∵P、Q分別是CC₁、C₁D₁的         

中點。∴CD₁∥PQ  故CD₁∥平面BPQ

梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD₁=AB=1，P、Q分別是CC₁、C₁D₁的中點。點P到直線