因?yàn)镋∈AB,H∈AD.所以EH 平面ABD,P∈平面ABD.

同理: P∈平面CBD.

又因?yàn)槠矫鍭BD∩平面CBD=BD,所以點(diǎn)P在直線BD上.

例1.點(diǎn)A平面BCD,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn),若EH與FG交于P.

求證:點(diǎn)P在直線BD上.

證明：因?yàn)镋H∩FG=P,所以P∈EH,P∈FG.

剛才說(shuō)A、B兩個(gè)點(diǎn)確定一條直線，得出：一條直線及直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面的結(jié)論，現(xiàn)在A、C兩個(gè)點(diǎn)也確定一條直線，直線AB、AC是什么位置關(guān)系？

   生：相交。

   師：那么你又能得到什么結(jié)論？

   生：過(guò)兩條相交直線有且僅有一個(gè)平面。

師：好！板書(shū)：過(guò)兩條相交直線有且僅有一個(gè)平面，試著證明一下！

（學(xué)生證明，教師轉(zhuǎn)后，投影下列證明過(guò)程）

     證明：根據(jù)相交直線的定義，在同一平面內(nèi)有一個(gè)公共點(diǎn)的直線稱相交直線，所以過(guò)l₁和l₂一定有一個(gè)平面α。假設(shè)過(guò)l₁和l₂還有一個(gè)平面β，設(shè)l₁∩l₂=A,在l₁、l₂上再各取一點(diǎn)B、C，根據(jù)不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C有且僅有一個(gè)平面，故α與β重合，故α是唯一的。這樣：過(guò)兩條相交直線有且僅有一個(gè)平面。

  師：證明有的過(guò)程，稱作證明存在性的過(guò)程。這樣證明確定、有且僅有的問(wèn)題，既要證明存在性（能找到一個(gè)），又要證明惟一性（可以證明其他在此平面內(nèi)，或者假設(shè)還有一個(gè)證明二者重合）。

再看，過(guò)點(diǎn)A是不是能做一條直線與BC平行？

生：是。

師：平行線定義是說(shuō)：在同一平面內(nèi)兩條無(wú)公共點(diǎn)的直線，由此你又能得到什么結(jié)論？

生：過(guò)兩條平行直線有且僅有一個(gè)平面。

師：好！板書(shū)：過(guò)兩條平行直線有且僅有一個(gè)平面。這個(gè)問(wèn)題的證明留作作業(yè)。這樣我們得到了確定平面的另外三個(gè)推論：（放映）

推論1：過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面

推論2：過(guò)兩條相交直線有且僅有一個(gè)平面

推論3：過(guò)兩條平行直線有且僅有一個(gè)平面。

它們的證明一般是先證明存在性，再用同一法證明惟一性。

∵A、B∈α，A、B∈l   ∴l(xiāng)α。假設(shè)還有一個(gè)平面β，由于過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C有且僅有一個(gè)平面，故α與β重合。這樣過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面。

     師：再接著看：

（生思考后，大多數(shù)加上了這樣的內(nèi)容：∵A、B∈α，A、B∈l   ∴l(xiāng)α）

師：這樣完整了嗎？

生：完整了呀！

師：再想想，有且只有是什么意思？只證出了有這個(gè)平面α，就算完了嗎？還需要證明什么？

生：α惟一性。

師：好！怎么證明？

（生考慮后，假設(shè)還有一個(gè)平面β，由于過(guò)A、B、C三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面，故α與β重合）

師：好！這樣完成了整個(gè)命題的證明過(guò)程。（放映證明）

證明：在直線l上任意取兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，過(guò)A、B、C三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面α。

生：過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面。

師：好！這樣得到一個(gè)結(jié)論：過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面（版書(shū)）。如何證明？

生：太簡(jiǎn)單了！在直線上取兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，同第三個(gè)點(diǎn)C不就確定一個(gè)平面嗎？

師：能寫(xiě)出證明過(guò)程嗎？

（學(xué)生試著寫(xiě)，教師轉(zhuǎn)后，將學(xué)生典型的寫(xiě)法放映）

在直線l上任意取兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，過(guò)A、B、C三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面α。

師：完了嗎？

（學(xué)生思考）

師：證明了直線l在平面α內(nèi)了嗎？要證又如何證明呢？

2、平面還有哪些基本性質(zhì)和主要結(jié)論？（板書(shū)：平面的基本性質(zhì)）

師：如公理三：過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C有且僅有一個(gè)平面，A、B兩個(gè)點(diǎn)可以確定一條直線，那么你能得到什么結(jié)論？

2、判斷點(diǎn)在直線上

公理3

過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面

確定平面的依據(jù)

練習(xí)：教材22頁(yè)2~5

1、判斷兩個(gè)平面相交

兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則它們就有且僅有一條經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線（A∈α，A∈βα∩β=l,A∈l）