例1 已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，－3)(如圖)，求的六個(gè)三角函數(shù)值.

解：∵x＝2，y＝－3

∴

于是　

例2求下列各角的六個(gè)三角函數(shù)值.

(1)0　　　　　 (2)π　　　 (3)　　　 (4)

解：(1)因?yàn)楫?dāng)＝0時(shí)，x＝r，y＝0，所以

sin0=0　　 cos0=1　　　　　　 tan0=0　　 cot0不存在

sec0=1　　 csc0不存在

(2)因?yàn)楫?dāng)＝π時(shí)，x＝－r，y＝0，所以

sinπ＝0 　cosπ＝－1　　 tanπ＝0　 　cotπ不存在

secπ＝－1 　cscπ不存在

(3)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，x＝0，y＝－r，所以

　　　 不存在　　 　

不存在　　 　

(4)當(dāng)a=時(shí) ,所以

　　 sin=1　　　 cos=0　　　　 tan不存在　 cot=0

　　 sec不存在　　 csc=1

例3填表：

a	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°
弧度

例4 �、� 已知角a的終邊經(jīng)過(guò)P(4,-3),求2sina+cosa的值

⑵已知角a的終邊經(jīng)過(guò)P(4a,-3a),(a¹0)求2sina+cosa的值

解：⑴由定義 ：　 sina=-　 cosa=　 ∴2sina+cosa=-

⑵若 　則sina=-　 cosa=　 ∴2sina+cosa=-

若 　則sina=　 cosa=-　 ∴2sina+cosa=

例5　 求函數(shù)的值域

解： 定義域：cosx¹0 ∴x的終邊不在x軸上

又∵tanx¹0　 ∴x的終邊不在y軸上

當(dāng)x是第Ⅰ象限角時(shí)， cosx=|cosx|　 tanx=|tanx|　 ∴y=2

當(dāng)x是第Ⅱ象限角時(shí),|cosx|=-cosx　 |tanx|=-tanx ∴y=-2

當(dāng)x是第Ⅲ象限角時(shí), 　|cosx|=-cosx　 |tanx|=tanx ∴y=0

當(dāng)x是第Ⅳ象限角時(shí), 　|cosx|=cosx　 |tanx|=-tanx ∴y=0

4.注意:

(1)以后我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)研究角的問(wèn)題，其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合.

(2)OP是角的終邊，至于是轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)的不清楚，也只有這樣，才能說(shuō)明角是任意的.

(3)sin是個(gè)整體符號(hào)，不能認(rèn)為是“sin”與“”的積.其余五個(gè)符號(hào)也是這樣.

(4)定義中只說(shuō)怎樣的比值叫做的什么函數(shù)，并沒(méi)有說(shuō)的終邊在什么位置(終邊在坐標(biāo)軸上的除外)，即函數(shù)的定義與的終邊位置無(wú)關(guān).

(5)比值只與角的大小有關(guān).

(6)任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別:

任意角的三角函數(shù)就包含銳角三角函數(shù)，實(shí)質(zhì)上銳角三角函數(shù)的定義與任意角的三角函數(shù)的定義是一致的，銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例. 所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來(lái)定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來(lái)定義的. 即正弦函數(shù)值是縱坐標(biāo)比距離，余弦函數(shù)值是橫坐標(biāo)比距離， 正切函數(shù)值是縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo)，余切函數(shù)值是橫坐標(biāo)比縱坐標(biāo)，正割函數(shù)值是距離比橫坐標(biāo)，余割函數(shù)值是距離比縱坐標(biāo).

(7)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標(biāo)系的第一象限，使一銳角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，一直角邊與x軸的非負(fù)半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類(lèi)比記憶.

3.突出探究的幾個(gè)問(wèn)題：

①角是“任意角”，當(dāng)b=2kp+a(kÎZ)時(shí)，b與a的同名三角函數(shù)值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等

②實(shí)際上，如果終邊在坐標(biāo)軸上，上述定義同樣適用

③三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù)

④而x,y的正負(fù)是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號(hào)應(yīng)由象限確定.

⑤定義域：對(duì)于正弦函數(shù)，因?yàn)閞＞0，所以恒有意義，即取任意實(shí)數(shù)，恒有意義，也就是說(shuō)sin恒有意義，所以正弦函數(shù)的定義域是R；類(lèi)似地可寫(xiě)出余弦函數(shù)的定義域；對(duì)于正切函數(shù)，因?yàn)閤＝0時(shí)，無(wú)意義，即tan無(wú)意義，又當(dāng)且僅當(dāng)角的終邊落在縱軸上時(shí)，才有x＝0，所以當(dāng)的終邊不在縱軸上時(shí)，恒有意義，即tan恒有意義，所以正切函數(shù)的定義域是.從而有

2．比值叫做的正弦　　 記作：　

　比值叫做的余弦　　 記作：　

　比值叫做的正切　　 記作：　

比值叫做的余切　　 記作：　

比值叫做的正割　　 記作：　

　 比值叫做的余割　　 記作： 　　

根據(jù)相似三角形的知識(shí)，對(duì)于終邊不在坐標(biāo)軸上確定的角，上述六個(gè)比值都不會(huì)隨P點(diǎn)在的終邊上的位置的改變而改變.當(dāng)角的終邊在縱軸上時(shí)，即時(shí)，終邊上任意一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x都為0，所以tan、sec無(wú)意義；當(dāng)角的終邊在橫軸上時(shí)，即＝kπ(k∈Z)時(shí)，終邊上任意一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y都為0，所以cot、csc無(wú)意義，除此之外，對(duì)于確定的角，上面的六個(gè)比值都是惟一確定的實(shí)數(shù)，這就是說(shuō)，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù).

以上六種函數(shù)，統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù).

對(duì)于銳角三角函數(shù)，我們是在直角三角形中定義的，今天，對(duì)于任意角的三角函數(shù)，我們利用平面直角坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行研究.

1.設(shè)是一個(gè)任意角，在的終邊上任取(異于原點(diǎn)的)一點(diǎn)P(x,y)

則P與原點(diǎn)的距離

2.前面我們對(duì)角的概念進(jìn)行了擴(kuò)充，并學(xué)習(xí)了弧度制，知道角的集合與實(shí)數(shù)集是一一對(duì)應(yīng)的，在這個(gè)基礎(chǔ)上，今天我們來(lái)研究任意角的三角函數(shù).

1.在初中我們學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，它是以銳角為自變量，邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù):

24．(2010·南平模擬)人體血液里Ca²⁺離子的濃度一般采用g/cm³來(lái)表示。抽取一定體積

的血樣，加適量的草酸銨［(NH₄)₂C₂O₄］溶液，可析出草酸鈣(CaC₂O₄)沉淀，將

此草酸鈣沉淀洗滌后溶于強(qiáng)酸可得草酸(H₂C₂O₄)，再用KMnO₄溶液滴定即可測(cè)定

血液樣品中Ca²⁺的濃度。某研究性學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)步驟測(cè)定血液樣品中Ca²⁺的濃

度：

[配制KMnO₄標(biāo)準(zhǔn)溶液]下圖是配制50mLKMnO₄標(biāo)準(zhǔn)溶液的過(guò)程示意圖。

(1)請(qǐng)你觀察圖示判斷其中不正確的操作有(填序號(hào))____________；

(2)其中確定50mL溶液體積的容器是(填名稱(chēng))__________________；

(3)如果按照?qǐng)D示的操作所配制的溶液進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，在其他操作均正確的情況下，所測(cè)得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果將____________(填偏大或偏小)

[測(cè)定血液樣品中Ca²⁺的濃度]抽取血樣20.00mL，經(jīng)過(guò)上述處理后得到草酸，再用0.020mol/LKMnO₄溶液滴定，使草酸轉(zhuǎn)化成CO₂逸出，這時(shí)共消耗12.00mL KMnO₄溶液。

(4)已知草酸跟KMnO₄反應(yīng)的離子方程式為：

2MnO₄^―+5H₂C₂O₄+6H⁺＝2Mn^x++10CO₂↑+8H₂O

則式中的________________。

(5)滴定時(shí)，根據(jù)現(xiàn)象_____________________________，即可確定反應(yīng)達(dá)到終點(diǎn)。

(6)經(jīng)過(guò)計(jì)算，血液樣品中Ca²⁺離子的濃度為_(kāi)_______mg/cm³。

[解析](1)量筒不能用于配制溶液，視線(xiàn)應(yīng)該與凹液面的最低點(diǎn)相平讀數(shù)，所以②⑤操作錯(cuò)誤；(2)配制50mL一定物質(zhì)的量濃度KMnO₄標(biāo)準(zhǔn)溶液需要50mL的容量瓶；(3)仰視讀數(shù)時(shí)，定容時(shí)，所加的水超過(guò)刻度線(xiàn)，體積偏大，所以濃度偏小。(4)~(6)血樣處理過(guò)程中發(fā)生反應(yīng)的離子方程式依次是：①Ca²⁺+C₂O₄^2－＝CaC₂O₄↓；②CaC₂O₄+2H⁺＝Ca²⁺+H₂C₂O₄；③2MnO₄^―+5H₂C₂O₄+6H⁺＝2Mn^x++10CO₂↑+8H₂O，由此可得如下關(guān)系式：5Ca²⁺-5CaC₂O₄-5H₂C₂O₄-2MnO₄^―，所以n(Ca²⁺)＝n(MnO₄^-)＝×0.0120L

×0.020mol·L^－1＝6.0×10^-4mol，血液樣品中Ca²⁺的濃度＝＝1.2×10^－3g/cm3＝1.2mg/cm³。對(duì)于反應(yīng)③根據(jù)電荷守恒，2×(－1)+6×(+1)＝2×(+x)，所以x＝2。草酸溶液無(wú)色，當(dāng)反應(yīng)正好完全進(jìn)行的時(shí)候，多加一滴KMnO₄溶液，溶液恰好由無(wú)色變?yōu)樽霞t色。

[答案](1)②⑤　 (2)容量瓶　 (3)偏小

(4)2　　 (5)溶液由無(wú)色變?yōu)樽霞t色　　 (6)1.2

23．(2010·石家莊模擬)用質(zhì)量分?jǐn)?shù)為36.5%的濃鹽酸(密度為1.16g/cm³)配制成1mol/L的稀鹽酸�，F(xiàn)實(shí)驗(yàn)室僅需要這種鹽酸220mL。試回答下列問(wèn)題：

(1)配制稀鹽酸時(shí)，應(yīng)選用容量為_(kāi)_____mL的容量瓶；

(2)經(jīng)計(jì)算需要______mL濃鹽酸，在量取時(shí)宜選用下列量筒中的______。

　　 A．5mL　　 B．10mL　　 C．25mL　　 D．50mL

(3)在量取濃鹽酸后，進(jìn)行了下列操作：

　　 ①等稀釋的鹽酸其溫度與室溫一致后，沿玻璃棒注入250mL容量瓶中。

　　 ②往容量瓶中小心加蒸餾水至液面接近環(huán)形標(biāo)線(xiàn)2-3 cm處，改用膠頭滴管加蒸餾水，使溶液的凹面底部與瓶頸的環(huán)形標(biāo)線(xiàn)相切。

　　 ③在盛鹽酸的燒杯中注入蒸餾水，并用玻璃棒攪動(dòng)，使其混合均勻。

　　 ④用蒸餾水洗滌燒杯和玻璃棒2至3次，并將洗滌液全部注入容量瓶

上述操作中，正確的順序是(填序號(hào))____________。

(4)在上述配制過(guò)程中，用剛剛洗滌潔凈的量筒來(lái)量取濃鹽酸，其配制的稀鹽酸濃度是______(填“偏高”、“偏低”、“無(wú)影響”)。若未用蒸餾水洗滌燒杯內(nèi)壁或未將洗滌液注入容量瓶，則配制的稀鹽酸濃度是____________(填“偏高”、“偏低”、“無(wú)影響”)。

[解析](1)由于實(shí)驗(yàn)室里沒(méi)有220mL容量瓶，所以必須選用250mL容量瓶，先配制250mL溶液，再?gòu)钠渲腥〕?20mL即可。(2)c(HCl)＝＝＝11.6mol/L。加水稀釋前后HCl的物質(zhì)的量不變，所以11.6mol/L·V(HCl)＝250mL×1mol/L，解得V(HCl)＝21.6mL，應(yīng)該選擇25mL的量筒量取。(3)配制一定物質(zhì)的量濃度的溶液基本步驟為：計(jì)算→稱(chēng)量或量取→溶解→冷卻后轉(zhuǎn)移洗滌→振蕩后定容→倒轉(zhuǎn)搖勻，所以正確的順序是③①④②。(4)用剛剛洗滌潔凈的量筒來(lái)量取濃鹽酸，量取的鹽酸被稀釋了，其物質(zhì)的量比實(shí)際偏小，所配制溶液的濃度偏低；若未用蒸餾水洗滌燒杯內(nèi)壁或未將洗滌液注入容量瓶，則一部分溶質(zhì)損失，所配制溶液的濃度偏低。

[答案](1)250　 (2)21.6　 C (3)③①④②　 (4)偏低；偏低

22．(2010·興義模擬)Ba²⁺是一種重金屬離子，有一環(huán)境監(jiān)測(cè)小組欲利用Na₂S₂O₃、KI、K₂Cr₂O₇等試劑測(cè)定某工廠(chǎng)廢水中Ba²⁺的濃度。

(1)現(xiàn)需配制250mL 0.100mol·L^－1標(biāo)準(zhǔn)Na₂S₂O₃溶液，所需要的玻璃儀器除量筒、250mL容量瓶、玻璃棒外，還需要_________________________。

(2)需準(zhǔn)確稱(chēng)取Na₂S₂O₃固體的質(zhì)量為_(kāi)______________g。

(3)另取廢水50.00mL，控制適當(dāng)?shù)乃岫燃尤俗懔康腒₂Cr₂O₇溶液，得BaCrO₄沉淀；沉淀經(jīng)洗滌．過(guò)濾后，用適量的稀鹽酸溶解，此時(shí)CrO₄^2－全部轉(zhuǎn)化為Cr₂O₇^2－；再加過(guò)量KI溶液反應(yīng)，反應(yīng)液中再滴加上述Na₂S₂O₃溶液，反應(yīng)完全時(shí)，消耗Na₂S₂O₂溶液36.00mL。已知有關(guān)的離子方程式為：

　　　　 ①Cr₂O₇^2－+6I^－+14H⁺＝2Cr³⁺+3I₂+7H₂O；

　　　　 ②I₂+2S₂O₃^2－＝2I^－+S₄O₆^2－。

試計(jì)算該工廠(chǎng)廢水中Ba²⁺的物質(zhì)的量濃度。

[解析](1)配制0.100mol·L^－1的Na₂S₂O₃溶液時(shí)，將Na₂S₂O₃固體在燒杯中溶解，將溶液沿玻璃棒轉(zhuǎn)移到250mL容量瓶中，用膠頭滴管定容，所以必須使用到這三種玻璃儀器。

(2)m(Na₂S₂O₃)＝0.250L×0.100mol·L^－1×158g·mol^－1＝3.95g。

(3)設(shè)Ba²⁺的物質(zhì)的量為x，則有：

　　 Ba²⁺~BaCrO₂~Cr₂O₇^2－~I₂~3S₂O₃^2－

　 　1mol　　　　　　　　　　 　3mol

xmol　　　　　　　　　　 　36.00×0.100×10^－3mol

mol

所以c(Ba²⁺)mol·L^－1

[答案](1)膠頭滴管　 (2)3.95　 (3)0.024mol·L^－1