1．在掌握等差數列、等比數列的定義、性質、通項公式、前n項和公式的基礎上，系統(tǒng)掌握解等差數列與等比數列綜合題的規(guī)律，深化數學思想方法在解題實踐中的指導作用，靈活地運用數列知識和方法解決數學和實際生活中的有關問題；

b)∈M，且對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a，則a=____．

分析：讀懂并能揭示問題中的數學實質，將是解決該問題的突破口．怎樣理解“對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a”？M中的元素又有什么特點？

解：依題可知，本題等價于求函數x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)

(2)當1≤y≤3時，

所以當y=1時，= 4．

簡評：題設條件中出現(xiàn)集合的形式，因此要認清集合元素的本質屬性，然后結合條件，揭示

其數學實質．即求集合M中的元素滿足關系式

例2．已知非負實數，滿足且，則的最大值是(　 )

　A．　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　 D．

解：畫出圖象，由線性規(guī)劃知識可得，選D

例3．數列由下列條件確定：

(1)證明：對于,

(2)證明：對于．

證明：(1)

(2)當時，

=。

例4．解關于的不等式：

分析：本例主要復習含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關鍵不是對參數進行討論，而是去絕對值時必須對末知數進行討論，得到兩個不等式組，最后對兩個不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。

解：當

。

例5．若二次函數y=f(x)的圖象經過原點，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范圍．

分析：要求f(-2)的取值范圍，只需找到含人f(-2)的不等式(組)．由于y=f(x)是二次函數，所以應先將f(x)的表達形式寫出來．即可求得f(-2)的表達式，然后依題設條件列出含有f(-2)的不等式(組)，即可求解．

解：因為y=f(x)的圖象經過原點，所以可設y=f(x)=ax2+bx．于是

解法一(利用基本不等式的性質)

不等式組(Ⅰ)變形得

(Ⅰ)

所以f(-2)的取值范圍是[6，10]．

解法二(數形結合)

建立直角坐標系aob，作出不等式組(Ⅰ)所表示的區(qū)域，如圖6中的陰影部分．因為f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系．如圖6，當直線4a-2b-f(-2)=0過點A(2，1)，B(3，1)時，分別取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范圍是：6≤f(-2)≤10．

解法三(利用方程的思想)

又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而

1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，　　　　　　　　 ①

所以　　 3≤3f(-1)≤6．　　　　　　　　 ②

①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．

簡評：(1)在解不等式時，要求作同解變形．要避免出現(xiàn)以下一種錯解：

2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．

(2)對這類問題的求解關鍵一步是，找到f(-2)的數學結構，然后依其數學結構特征，揭示其代數的、幾何的本質，利用不等式的基本性質、數形結合、方程等數學思想方法，從不同角度去解決同一問題．若長期這樣思考問題，數學的素養(yǎng)一定會迅速提高．

例6．設函數f(x)=ax²+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=x，均不相交.試證明對一切都有.

分析：因為x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，則最小值由頂點確定，故設f(x)=a(x-x₀)²+f(x0)．

證明：由題意知，a≠0．設f(x)=a(x-x₀)²+f(x₀)，則

又二次方程ax²+bx+c=±x無實根，故

Δ₁=(b+1)²-4ac＜0，Δ₂=(b-1)²-4ac＜0．

所以(b+1)²+(b-1)²-8ac＜0，即2b²+2-8ac＜0，即b²-4ac＜-1，所以|b²-4ac|＞1．

簡評：從上述幾個例子可以看出，在證明與二次函數有關的不等式問題時，如果針對題設條件，合理采取二次函數的不同形式，那么我們就找到了一種有效的證明途徑．

例7．某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數量相同。為了保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數量不應超過多少輛？

解：設2001年末的汽車保有量為，以后每年末的汽車保有量依次為，每年新增汽車萬輛。由題意得

4．根據題目結構特點，執(zhí)果索因，往往是有效的思維方法。

3．不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握常規(guī)證法的基礎上，選用一些特殊技巧。如運用放縮法證明不等式時要注意調整放縮的度。

2.解含參數不等式時，要特別注意數形結合思想，函數與方程思想，分類討論思想的錄活運用。

1.解不等式的基本思想是轉化、化歸，一般都轉化為最簡單的一元一次不等式(組)或一元二次不等式(組)來求解，。

7．通過不等式的基本知識、基本方法在代數、三角函數、數列、復數、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應用，深化數學知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力．在應用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中，提高學生數學素質及創(chuàng)新意識．

6．不等式應用問題體現(xiàn)了一定的綜合性．這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函數式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函數的最值時，要特別注意“正數、定值和相等”三個條件缺一不可，有時需要適當拼湊，使之符合這三個條件．利用不等式解應用題的基本步驟：1.審題，2.建立不等式模型，3.解數學問題，4.作答。

5．證明不等式的方法多樣，內容豐富、技巧性較強．在證明不等式前，要依據題設和待證不等式的結構特點、內在聯(lián)系，選擇適當的證明方法．通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經過一系列的運算而導出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因導果”，為溝通聯(lián)系的途徑，證明時往往聯(lián)合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達到欲證的目的．