7．經(jīng)緯度及球面距離

線段AP的長　　　 ∠AOP的弧度數(shù)　　　　 　大圓劣弧AP的長

6．棱柱的概念和性質(zhì)

⑴理解并掌握棱柱的定義及相關(guān)概念是學(xué)好這部分知識的關(guān)鍵，要明確“棱柱　 直棱柱　　 正棱柱”這一系列中各類幾何體的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。

⑵平行六面體是棱柱中的一類重要的幾何體，要理解并掌握“平行六面體　 直平行六面體　 長方體　 正四棱柱　 正方體”這一系列中各類幾何體的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。

⑶須從棱柱的定義出發(fā)，根據(jù)第一章的相關(guān)定理對棱柱的基本性質(zhì)進(jìn)行分析推導(dǎo)，以求更好地理解、掌握并能正確地運(yùn)用這些性質(zhì)。

⑷關(guān)于平行六面體，在掌握其所具有的棱柱的一般性質(zhì)外，還須掌握由其定義導(dǎo)出的一些其特有的性質(zhì)，如長方體的對角線長定理是一個重要定理并能很好地掌握和應(yīng)用。還須注意，平行六面體具有一些與平面幾何中的平行四邊形相對應(yīng)的性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)及解題思路去解平行六面體的問題是一常用的解題方法。

⑸多面體與旋轉(zhuǎn)體的問題離不開構(gòu)成幾何體的基本要素點(diǎn)、線、面及其相互關(guān)系，因此，很多問題實(shí)質(zhì)上就是在研究點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，與《直線、平面、簡單幾何體》第一部分的問題相比，唯一的差別就是多了一些概念，比如面積與體積的度量等．從這個角度來看，點(diǎn)、線、面及其位置關(guān)系仍是我們研究的重點(diǎn)．

5.空間的距離問題，主要是求空間兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條異面直線之間(限于給出公垂線段的)、平面和它的平行直線、以及兩個平行平面之間的距離．

求距離的一般方法和步驟是：一作--作出表示距離的線段；二證--證明它就是所要求的距離；三算--計(jì)算其值．此外，我們還常用體積法求點(diǎn)到平面的距離．

4．空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解這類問題的基本思路是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決．

空間的角，是對由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的一個重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的角θ∈(0，]，直線與平面所成的角θ∈，二面角的大小，可用它們的平面角來度量，其平面角θ∈0，π．

對于空間角的計(jì)算，總是通過一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的角，并把它置于一個平面圖形，而且是一個三角形的內(nèi)角來解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來實(shí)現(xiàn)的，因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用．通過空間角的計(jì)算和應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯推理能力及空間想象能力．

如求異面直線所成的角常用平移法(轉(zhuǎn)化為相交直線)與向量法；求直線與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；而求二面角a－l－b的平面角(記作q)通常有以下幾種方法：

(1) 根據(jù)定義；

(2) 過棱l上任一點(diǎn)O作棱l的垂面g，設(shè)g∩a＝OA，g∩b＝OB，則∠AOB＝q ；

(3) 利用三垂線定理或逆定理，過一個半平面a內(nèi)一點(diǎn)A，分別作另一個平面b的垂線AB(垂足為B),或棱l的垂線AC(垂足為C)，連結(jié)AC，則∠ACB＝q 或∠ACB＝p－q；

(4) 設(shè)A為平面a外任一點(diǎn)，AB⊥a，垂足為B，AC⊥b，垂足為C，則∠BAC＝q或∠BAC＝p－q；

(5) 利用面積射影定理，設(shè)平面a內(nèi)的平面圖形F的面積為S，F在平面b內(nèi)的射影圖形的面積為S^¢，則cosq＝.

3．兩個平面平行的主要性質(zhì)：

　　 ⑴由定義知：“兩平行平面沒有公共點(diǎn)”。

　　 ⑵由定義推得：“兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面。

　　 ⑶兩個平面平行的性質(zhì)定理：“如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那

么它們的交線平行”。

　　 ⑷一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。

　　 ⑸夾在兩個平行平面間的平行線段相等。

　　 ⑹經(jīng)過平面外一點(diǎn)只有一個平面和已知平面平行。

以上性質(zhì)⑵、⑷、⑸、⑹在課文中雖未直接列為“性質(zhì)定理”，但在解題過程中均可直接作為性質(zhì)定理引用。

2．判定兩個平面平行的方法：

　 (1)根據(jù)定義--證明兩平面沒有公共點(diǎn)；

　 (2)判定定理--證明一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面；

　 (3)證明兩平面同垂直于一條直線。

1．有關(guān)平行與垂直(線線、線面及面面)的問題，是在解決立體幾何問題的過程中，大量的、反復(fù)遇到的，而且是以各種各樣的問題(包括論證、計(jì)算角、與距離等)中不可缺少的內(nèi)容，因此在主體幾何的總復(fù)習(xí)中，首先應(yīng)從解決“平行與垂直”的有關(guān)問題著手，通過較為基本問題，熟悉公理、定理的內(nèi)容和功能，通過對問題的分析與概括，掌握立體幾何中解決問題的規(guī)律--充分利用線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互轉(zhuǎn)化的思想，以提高邏輯思維能力和空間想象能力．

例1．已知，求(1)；(2)的值.

解：(1)；

　　 (2)　

　　　　 .

說明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(如果不具備，通過構(gòu)造的辦法得到)，進(jìn)行弦、切互化，就會使解題過程簡化。

例2．求函數(shù)的值域。

解：設(shè)，則原函數(shù)可化為

，因?yàn)?sub>，所以

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以，函數(shù)的值域?yàn)?sub>。

例3．已知函數(shù)。

(1)求的最小正周期、的最大值及此時x的集合；

(2)證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。

解：

(1)所以的最小正周期，因?yàn)?sub>，

所以，當(dāng)，即時，最大值為；

(2)證明：欲證明函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，只要證明對任意，有成立，

因?yàn)?sub>，

，

所以成立，從而函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。

例4． 已知函數(shù)y=cos²x+sinx·cosx+1　 (x∈R),

(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；

(2)該函數(shù)的圖像可由y=sinx(x∈R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？

解：(1)y=cos²x+sinx·cosx+1= (2cos²x－1)+ +(2sinx·cosx)+1

=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+

=sin(2x+)+

所以y取最大值時，只需2x+=+2kπ,(k∈Z)，即　 x=+kπ,(k∈Z)。

所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時，自變量x的集合為{x|x=+kπ,k∈Z}

(2)將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換：

(i)把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移，得到函數(shù)y=sin(x+)的圖像；

(ii)把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像；

(iii)把得到的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像；

(iv)把得到的圖像向上平移個單位長度，得到函數(shù)y=sin(2x+)+的圖像。

綜上得到y(tǒng)=cos²x+sinxcosx+1的圖像。

說明：本題是2000年全國高考試題，屬中檔偏容易題，主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。這類題一般有兩種解法：一是化成關(guān)于sinx,cosx的齊次式，降冪后最終化成y=sin (ωx+)+k的形式，二是化成某一個三角函數(shù)的二次三項(xiàng)式。本題(1)還可以解法如下：當(dāng)cosx=0時，y=1；當(dāng)cosx≠0時，y=+1=+1

化簡得：2(y－1)tan²x－tanx+2y－3=0

∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤

∴y_max=，此時對應(yīng)自變量x的值集為{x|x=kπ+,k∈Z}

例5．已知函數(shù)

　 (Ⅰ)將f(x)寫成的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)；

　 (Ⅱ)如果△ABC的三邊a、b、c滿足b²=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數(shù)f(x)的值域.

解：

(Ⅰ)由=0即

即對稱中心的橫坐標(biāo)為

(Ⅱ)由已知b²=ac

　 即的值域?yàn)?sub>.

綜上所述，　　 ，　　　　　 值域?yàn)?sub> .

說明：本題綜合運(yùn)用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識，還需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決函數(shù)值域的問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，對知識進(jìn)行整合的能力。

例6．在中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且，

(1)求的值；

(2)若，且a=c，求的面積。

解：(1)由正弦定理及，有，

即，所以，

又因?yàn)?sub>，，所以，因?yàn)?sub>，所以，又，所以。

(2)在中，由余弦定理可得，又，

所以有，所以的面積為

。

例7．已知向量

，且，

(1)求函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若，求的最大值與最小值。

解：(1)，，，又，

所以，

所以，即；

(2)由(1)可得，令導(dǎo)數(shù)，解得，列表如下：

t	－1	(－1，1)	1	(1，3)
導(dǎo)數(shù)	0	－	0	+
	極大值	遞減	極小值	遞增

而所以。

例8．已知向量，

(1)　　 求的值；

(2)　　 (2)若的值。

解：(1)因?yàn)?sub>

所以

又因?yàn)?sub>，所以，

即；

(2) ，

又因?yàn)?sub>，所以 ，

，所以，所以

例9．平面直角坐標(biāo)系有點(diǎn)

(1)　　　 求向量和的夾角的余弦用表示的函數(shù)；

(2)　　　 求的最值.

解：(1)，

　　　　　　　 即　 　　　

(2) ，　 又　　 ，

　　 　，　　 　，　 .

說明：三角函數(shù)與向量之間的聯(lián)系很緊密，解題時要時刻注意。

4.解答三角高考題的策略。

(1)發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。

(2)尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。

(3)合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓�，促使差異的轉(zhuǎn)化。

3.證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。