例1、若直線mx+y+2=0與線段AB有交點，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求實數(shù)m的取值范圍。

解：直線mx+y+2=0過一定點C(0, -2)，直線mx+y+2=0實際上表示的是過定點(0, -2)的直線系，因為直線與線段AB有交點，則直線只能落在∠ABC的內(nèi)部，設(shè)BC、CA這兩條直線的斜率分別為k₁、k₂，則由斜率的定義可知，直線mx+y+2=0的斜率k應(yīng)滿足k≥k₁或k≤k₂， ∵A(-2, 3)　 B(3, 2)

∴

∴-m≥或-m≤ 即m≤或m≥

說明：此例是典型的運用數(shù)形結(jié)合的思想來解題的問題，這里要清楚直線mx+y+2=0的斜率-m應(yīng)為傾角的正切，而當傾角在(0°,90°)或(90°,180°)內(nèi)，角的正切函數(shù)都是單調(diào)遞增的，因此當直線在∠ACB內(nèi)部變化時，k應(yīng)大于或等于k_BC，或者k小于或等于k_AC，當A、B兩點的坐標變化時，也要能求出m的范圍。

例2、已知x、y滿足約束條件

　　　　　　　　　　　 　　　　x≥1，

　　　　　　　　　　　　　　　 x-3y≤-4，

　　　　　　　　　　　　　　　 3x+5y≤30，

求目標函數(shù)z=2x-y的最大值和最小值.

解：根據(jù)x、y滿足的約束條件作出可行域，即如圖所示的陰影部分(包括邊界).

作直線：2x-y=0，再作一組平行于的直線：2x-y=t，t∈R.

可知，當在的右下方時，直線上的點(x，y)滿足2x-y＞0，即t＞0，而且直線往右平移時，t隨之增大.當直線平移至的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點B，此時所對應(yīng)的t最大；當在的左上方時，直線上的點(x，y)滿足2x-y＜0，即t＜0，而且直線往左平移時，t隨之減小.當直線平移至的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點C，此時所對應(yīng)的t最小.

　　　　 x-3y+4=0，

　　 由　　　　　　　　　　　 解得點B的坐標為(5，3)；

　　　　 3x+5y-30=0，

　　　　 x=1，

　　 由　　　　　　　　　　 解得點C的坐標為(1，).

　　　　 3x+5y-30=0，

所以，=2×5-3=7；=2×1-=.

例3、 已知⊙M：軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點，(1)如果，求直線MQ的方程；

　 (2)求動弦AB的中點P的軌跡方程.

　 解:(1)由，可得由射影定理，得　 　在Rt△MOQ中，

　 　 ，

　　 故，

　　 所以直線AB方程是

　 (2)連接MB，MQ，設(shè)由

點M，P，Q在一直線上，得

由射影定理得

即 把(*)及(**)消去a，

并注意到，可得

說明：適時應(yīng)用平面幾何知識，這是快速解答本題的要害所在。

　 例4、已知雙曲線的離心率，過的直線到原點的距離是(1)求雙曲線的方程；

　(2)已知直線交雙曲線于不同的點C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.

　 解：∵(1)原點到直線AB：的距離.

　　 故所求雙曲線方程為

(2)把中消去y，整理得 .

　　 設(shè)的中點是，則

即

故所求k=±.

說明：為了求出的值, 需要通過消元, 想法設(shè)法建構(gòu)的方程.

例5、已知橢圓的長、短軸端點分別為A、B，從此橢圓上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點，向量與是共線向量。

(1)求橢圓的離心率e；

(2)設(shè)Q是橢圓上任意一點， 、分別是左、右焦點，求∠ 的取值范圍；

解：(1)∵，∴。

∵是共線向量，∴，∴b=c,故。

(2)設(shè)

當且僅當時，cosθ=0，∴θ。

說明：由于共線向量與解析幾何中平行線、三點共線等具有異曲同工的作用，因此，解析幾何中與平行線、三點共線等相關(guān)的問題均可在向量共線的新情景下設(shè)計問題。求解此類問題的關(guān)鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點共線等的關(guān)系，把有關(guān)向量的問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題。

3．注意強化思維的嚴謹性，力求規(guī)范解題，盡可能少丟分

　　 在解解析幾何的大題時，有不少學生常出現(xiàn)因解題不夠規(guī)范而丟分的現(xiàn)象，因此，要通過平時的講評對易出現(xiàn)錯誤的相關(guān)步驟作必要的強調(diào)，減少或避免無畏的丟分．

例14(04全國文科Ⅰ)設(shè)雙曲線C：相交于兩個不同的點A、B.

(I)求雙曲線C的離心率e的取值范圍：

(II)設(shè)直線l與y軸的交點為P，且求a的值.

解：(I)由C與t相交于兩個不同的點，故知方程組

　　 有兩個不同的實數(shù)解.消去y并整理得　

　 (1－a²)x²+2a²x－2a²=0.　　 ①

雙曲線的離心率

　　 還有，在設(shè)直線方程為點斜式時，就應(yīng)該注意到直線斜率不存在的情形；又如，在求軌跡方程時，還要注意到純粹性和完備性等．

2．重視通性通法，加強解題指導，提高解題能力

　　 在二輪復習中，不能僅僅復習概念和性質(zhì)，還應(yīng)該以典型的例題和習題(可以選用04年的各地高考試題和近兩年的各地高考模擬試題)為載體，在二輪復習中強化各類問題的常規(guī)解法，使學生形成解決各種類型問題的操作范式．數(shù)學學習是學生自主學習的過程，解題能力只有通過學生的自主探究才能掌握．所以，在二輪復習中，教師的作用是對學生的解題方法進行引導、點撥和點評，只有這樣，才能夠?qū)嵤┯行土暎?/p>

1．根據(jù)學生的實際，有針對性地進行復習，提高復習的有效性

　　 由于解析幾何通常有2－3小題和1大題，約占28分左右，而小題以考查基礎(chǔ)為主、解答題的第一問也較容易，因此，對于全市的所有不同類型的學校，都要做好該專題的復習，千萬不能認為該部分內(nèi)容較難而放棄對該部分內(nèi)容的專題復習，并且根據(jù)生源狀況有針對性地進行復習，提高復習的有效性．

(二)05年高考預測

1．難度：解析幾何內(nèi)容是歷年來高考數(shù)學試題中能夠拉開成績差距的內(nèi)容之一，該部分試題往往有一定的難度和區(qū)分度，預計這一形式仍將在05年的試題中得到體現(xiàn)．此外，從04年分省(市)命題的情況來看，在文科類15份試卷(含文理合用的試卷)中，有9分試卷(占3/5)用解析幾何大題作為最后一道壓軸題，預計這一現(xiàn)狀很有可能在05年試卷中繼續(xù)重現(xiàn)．

2．命題內(nèi)容：從今年各地的試題以及前幾年的試題來看，解答題所考查的內(nèi)容基本上是橢圓、雙曲線、拋物線交替出現(xiàn)的，所以，今年極有可能考雙曲線的解答題．此外，從命題所追求的目標來看，小題所涉及的內(nèi)容一定會注意到知識的覆蓋，兼顧到對能力的要求．

3．命題的熱點：

(1)與其他知識進行綜合，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計試題(如與向量綜合，與數(shù)列綜合、與函數(shù)、導數(shù)及不等式綜合等)；

(2)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，由于該部分內(nèi)容體現(xiàn)解析幾何的基本思想方法--用代數(shù)的手段研究幾何問題，因此該部分內(nèi)容一直是考試的熱點，相信，在05年的考試中將繼續(xù)體現(xiàn)；

(3)求軌跡方程．

(4)應(yīng)用題．

1．重視與向量的綜合

在04年高考文科12個省市新課程卷中，有6個省市的解析幾何大題與向量綜合，主要涉及到向量的點乘積(以及用向量的點乘積求夾角)和定比分點等，因此，與向量綜合，仍是解析幾何的熱點問題，預計在05年的高考試題中，這一現(xiàn)狀依然會持續(xù)下去．

例7(02年新課程卷)平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A(3，1)，B(－1，3)，若點C滿足，其中a、b∈R，且a+b=1，則點C的軌跡方程為

(A)(x－1)²+(y－2)²=5　　　　　 (B)3x+2y－11=0

(C)2x－y=0　　　　　　　　　　　　 (D)x+2y－5=0

例8(04遼寧)已知點、，動點，則點P的軌跡是

　　 (A)圓　　　　　 (B)橢圓　　　　 (C)雙曲線　　　 (D)拋物線

　　 2．考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系幾率較高

　　 在04年的15個省市文科試題(含新、舊課程卷)中，全都“不約而同”地考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，因此，可以斷言，在05年高考試題中，解析幾何的解答題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的概率依然會很大．

　　 3．與數(shù)列相綜合

　　 在04年的高考試題中，上海、湖北、浙江解析幾何大題與數(shù)列相綜合，此外，03年的江蘇卷也曾出現(xiàn)過此類試題，所以，在05年的試題中依然會出現(xiàn)類似的問題．

例9(04年浙江卷)如圖，ΔOBC的在個頂點坐標分別為(0,0)、(1,0)、(0,2),設(shè)P為線段BC的中點,P₂為線段CO的中點,P₃為線段OP₁的中點,對于每一個正整數(shù)n,P_n+3為線段P_nP_n+1的中點,令P_n的坐標為(x_n,y_n),　

(Ⅰ)求及;

(Ⅱ)證明

(Ⅲ)若記證明是等比數(shù)列.

解：(Ⅰ)因為，所以，又由題意可知，

∴== 　　 ∴為常數(shù)列.∴

(Ⅱ)將等式兩邊除以2，得

又∵，∴

　　 (Ⅲ)∵

　　 又∵

∴是公比為的等比數(shù)列.

　　 4．與導數(shù)相綜合

近幾年的新課程卷也十分注意與導數(shù)的綜合，如03年的天津文科試題、04年的湖南文理科試題，都分別與向量綜合．

例10(04年湖南文理科試題)如圖，過拋物線x²=4y的對稱軸上任一點P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A,B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點。

(I)設(shè)點P分有向線段所成的比為，證明:

(II)設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A,B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程.

　　 解：(Ⅰ)依題意，可設(shè)直線AB的方程為 代入拋物線方程得　　 ①

設(shè)A、B兩點的坐標分別是 、、x₂是方程①的兩根.

所以　 　　

由點P(0，m)分有向線段所成的比為，得

又點Q是點P關(guān)于原點的對稱點，故點Q的坐標是(0，－m)，從而.

所以　

(Ⅱ)由 得點A、B的坐標分別是(6，9)、(－4，4).

由 　得 所以拋物線 在點A處切線的斜率為

設(shè)圓C的方程是則

解之得

所以圓C的方程是 　即　

　　 5．重視應(yīng)用

在歷年的高考試題中，經(jīng)常出現(xiàn)解析幾何的應(yīng)用題，如01年的天津理科試題、03年的上海文理科試題、03年全國文科舊課程卷試題、03年的廣東試題及江蘇的線性規(guī)劃題等，都是有關(guān)解析幾何的應(yīng)用題．　　

例11(04年廣東試題)某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s. 已知各觀測點到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當時聲音傳播的速度為340m/ s :相關(guān)各點均在同一平面上)

　　 解：如圖，以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A(－1020，0)，B(1020，0)，C(0，1020)

設(shè)P(x,y)為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=－x，因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB|－ |PA|=340×4=1360

由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上，

依題意得a=680, c=1020，

用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,

　　 答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北45⁰距中心處.

2．解答題

　 解析幾何的解答題主要考查求軌跡方程以及圓錐曲線的性質(zhì)．以中等難度題為主，通常設(shè)置兩問，在問題的設(shè)置上有一定的梯度，第一問相對比較簡單．

　 例4(04江蘇)已知橢圓的中心在原點，離心率為，一個焦點是F(-m,0)(m是大于0的常數(shù)).　　

(Ⅰ)求橢圓的方程；　

(Ⅱ)設(shè)Q是橢圓上的一點，且過點F、Q的直線與y軸交于點M. 若，求直線l的斜率．

　　 本題第一問求橢圓的方程，是比較容易的，對大多數(shù)同學而言，是應(yīng)該得分的；而第二問，需要進行分類討論，則有一定的難度，得分率不高．

　　 解：(I)設(shè)所求橢圓方程是

　　 由已知，得　 　所以.

故所求的橢圓方程是

　　 (II)設(shè)Q()，直線

　　 當由定比分點坐標公式，得

　　 .

　　 于是　 故直線l的斜率是0，.

　　 例5(04全國文科Ⅰ)設(shè)雙曲線C：相交于兩個不同的點A、B.

(I)求雙曲線C的離心率e的取值范圍：

(II)設(shè)直線l與y軸的交點為P，且求a的值.

解：(I)由C與t相交于兩個不同的點，故知方程組

有兩個不同的實數(shù)解.消去y并整理得 (1－a²)x²+2a²x－2a²=0.　　 ①

雙曲線的離心率

(II)設(shè)

由于x₁，x₂都是方程①的根，且1－a²≠0，

　　 例6(04全國文科Ⅱ)給定拋物線C：F是C的焦點，過點F的直線與C相交于A、B兩點.

　　 (Ⅰ)設(shè)的斜率為1，求夾角的大小；

　　 (Ⅱ)設(shè)，求在軸上截距的變化范圍.

解：(Ⅰ)C的焦點為F(1，0)，直線l的斜率為1，所以l的方程為

將代入方程，并整理得　

設(shè)則有　

所以夾角的大小為

(Ⅱ)由題設(shè) 得　

由②得，　 ∵ 　　∴③

聯(lián)立①、③解得，依題意有

∴又F(1，0)，得直線l方程為

當時，l在方程y軸上的截距為

由　 　可知在[4，9]上是遞減的，

∴

直線l在y軸上截距的變化范圍為

　　 從以上3道題我們不難發(fā)現(xiàn)，對解答題而言，橢圓、雙曲線、拋物線這三種圓錐曲線都有考查的可能，而且在歷年的高考試題中往往是交替出現(xiàn)的，以江蘇為例，01年考的是拋物線，02年考的是雙曲線，03年考的是求軌跡方程(橢圓)，04年考的是橢圓．

1．2 部分小題體現(xiàn)一定的能力要求能力，注意到對學生解題方法的考查

例3(04天津文)若過定點且斜率為的直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點，則的取值范圍是　　　　

(A)　 (B)

(C)　 (D)

1．1　 大多數(shù)選擇、填空題以對基礎(chǔ)知識、基本技能的考查為主，難度以容易題和中檔題為主

(1)對直線、圓的基本概念及性質(zhì)的考查　

例1　 (04江蘇)以點(1，2)為圓心，與直線4x+3y-35=0相切的圓的方程是_________．

　 (2)對圓錐曲線的定義、性質(zhì)的考查

　　 例2(04遼寧)已知點、，動點P滿足. 當點P的縱坐標是時，點P到坐標原點的距離是

　 (A)　　　　　 (B)　　　　　 (C)　　　　　 (D)2

2004年高考，各地試題中解析幾何內(nèi)容在全卷的平均分值為27.1分，占18．1%；2001年以來，解析幾何內(nèi)容在全卷的平均分值為29.3分，占19.5%．因此，占全卷近1/5的分值的解析幾何內(nèi)容，值得我們在二輪復習中引起足夠的重視．高考試題中對解析幾何內(nèi)容的考查幾乎囊括了該部分的所有內(nèi)容，對直線、線性規(guī)劃、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等內(nèi)容都有涉及．

1．選擇、填空題