2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

1.曲線的切線及切線的斜率.

2.求曲線在點(diǎn)處的切線.

1.求曲線在點(diǎn)處的切線.

例1 (1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程.

(2)求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).

解: (1)

所以,所求切線的斜率為

因此,所求的切線方程為即

(2)因?yàn)?sub>

所以,所求切線的斜率為,

因此,所求的切線方程為即

例2 如圖3.1-3,它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù),根據(jù)圖像,請(qǐng)描述、比較曲線在、、附近的變化情況.

解: 我們用曲線在、、處的切線,

刻畫(huà)曲線在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況.

(1)　 當(dāng)時(shí),曲線在處的切線平行于軸,

所以,在附近曲線比較平坦,幾乎沒(méi)有升降.

(2)當(dāng)時(shí),曲線在處的切線的斜率,

所以,在附近曲線下降,

即函數(shù)在附近單調(diào)遞減.

(3)當(dāng)時(shí),曲線在處的切線的斜率,

所以,在附近曲線下降,

即函數(shù)在附近單調(diào)遞減．

從圖3.1-3可以看出,直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度,

這說(shuō)明曲線在附近比在附近下降的緩慢.

例3 如圖3.1-4,它表示人體血管中藥物濃度(單位:)隨時(shí)間(單位:)變化的圖象.根據(jù)圖像,估計(jì)時(shí),血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率(精確到).

解: 血管中某一時(shí)刻藥物濃度的瞬時(shí)變化率,就是藥物濃度在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù),

從圖像上看,它表示曲線在此點(diǎn)處的切線的斜率.

如圖3.1-4,畫(huà)出曲線上某點(diǎn)處的切線,利用網(wǎng)格估計(jì)這條切線的斜率,

可以得到此時(shí)刻藥物濃度瞬時(shí)變化率的近似值.

作處的切線,并在切線上去兩點(diǎn),如,,

則它的斜率為,所以

下表給出了藥物濃度瞬時(shí)變化率的估計(jì)值:

	0.2	0.4	0.6	0.8
藥物濃度瞬時(shí)變化率	0.4	0	-0.7	-1.4

(四)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系

(1)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限,它是一個(gè)常數(shù),不是變數(shù).

(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)而言的,就是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

(3)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值,這也是求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法之一.

(三)導(dǎo)函數(shù)

由函數(shù)在處求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到,當(dāng)時(shí),是一個(gè)確定的數(shù),那么,當(dāng)變化時(shí),便是的一個(gè)函數(shù),我們叫它為的導(dǎo)函數(shù).

記作:或,即.

注: 在不致發(fā)生混淆時(shí),導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù).

(二)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn)處的切線的斜率,

即

說(shuō)明: 求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟:

①求出點(diǎn)的坐標(biāo);

②求出函數(shù)在點(diǎn)處的變化率得到曲線在點(diǎn)的切線的斜率;

③利用點(diǎn)斜式求切線方程.

(一)曲線的切線及切線的斜率

如圖3.1-2,當(dāng)沿著曲線趨近于點(diǎn)時(shí),割線的變化趨勢(shì)是什么？

我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)即時(shí),割線趨近于確定的位置,這個(gè)確定位置的直線稱為曲線在點(diǎn)處的切線.

問(wèn)題: (1)割線的斜率與切線的斜率有什么關(guān)系？

　　　 (2)切線的斜率為多少？

容易知道,割線的斜率是,當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)時(shí),無(wú)限趨近于切線的斜率,即

說(shuō)明: (1)設(shè)切線的傾斜角為,

那么當(dāng)時(shí),割線的斜率,稱為曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.

這個(gè)概念: ①提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;

　　　　 ②切線斜率的本質(zhì)-函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).

(2)曲線在某點(diǎn)處的切線:

1)與該點(diǎn)的位置有關(guān);

2)要根據(jù)割線是否有極限位置來(lái)判斷與求解.如有極限,則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無(wú)切線;

3)曲線切線,并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),可以有多個(gè),甚至可以無(wú)窮多.

(二)瞬時(shí)速度、導(dǎo)數(shù)

我們知道,導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率,反映了函數(shù)在附近的變化情況,導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么呢？