20.(16分)已知定點(diǎn)C(-1，0)及橢圓x²+3y²=5,過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn).

(1)若線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-，求直線(xiàn)AB的方程；

(2)在x軸上是否存在點(diǎn)M，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解　 (1)依題意，直線(xiàn)AB的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k(x+1),

將y=k(x+1)代入x²+3y²=5,

消去y整理得(3k²+1)x²+6k²x+3k²-5=0.

設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

由線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-，

得=-=-,解得k=±，適合①.

所以直線(xiàn)AB的方程為x-y+1=0,或x+y+1=0.

(2)假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M(m，0)，使·為常數(shù).

(ⅰ)當(dāng)直線(xiàn)AB與x軸不垂直時(shí)，由(1)知

x₁+x₂=-,x₁x₂=.　　　　　　　　 ③

所以·=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂

=(x₁-m)(x₂-m)+k²(x₁+1)(x₂+1)

=(k²+1)x₁x₂+(k²-m)(x₁+x₂)+k²+m².

將③代入，整理得

·=+m²

=+m²

=m²+2m--.

注意到·是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)，從而有

6m+14=0，m=-，此時(shí)·=.

(ⅱ)當(dāng)直線(xiàn)AB與x軸垂直時(shí)，

此時(shí)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為

、，

當(dāng)m=-時(shí)，亦有·=.

綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M，使·為常數(shù).

19.(2008·海南(寧夏)理，20)(16分)在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C₁: =1 (a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂.F₂也是拋物線(xiàn)C₂：y²=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C₁與C₂在第一象限的交點(diǎn)，且|MF₂|=.

(1)求C₁的方程；

(2)平面上的點(diǎn)N滿(mǎn)足=+，直線(xiàn)l∥MN，且與C₁交于A、B兩點(diǎn)，若·=0，求直線(xiàn)l的方程.

解　 (1)由C₂:y²=4x,知F₂(1,0),

設(shè)M(x₁,y₁),M在C₂上,

因?yàn)閨MF₂|=,所以x₁+1=,

得x₁=,y₁=.所以M.

M在C₁上,且橢圓C₁的半焦距c=1,

于是

消去b²并整理得9a⁴-37a²+4=0.

解得a=2(a=不合題意,舍去).

故b²=4-1=3.

故橢圓C₁的方程為.

(2)由=+,知四邊形MF₁NF₂是平行四邊形,其中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,

因?yàn)閘∥MN,所以l與OM的斜率相同.

故l的斜率k==.

設(shè)l的方程為y=(x-m).

由消去y并整理得

9x²-16mx+8m²-4=0.

設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

則x₁+x₂=,x₁x₂=.

因?yàn)?sub>⊥,所以x₁x₂+y₁y₂=0.

所以x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+6(x₁-m)(x₂-m)

=7x₁x₂-6m(x₁+x₂)+6m²

=7·-6m·+6m²

=(14m²-28)=0.

所以m=±.此時(shí)Δ=(16m)²-4×9(8m²-4)＞0.

故所求直線(xiàn)l的方程為y=x-2,或y=x+2.

18.(16分)過(guò)點(diǎn)(1，0)的直線(xiàn)l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)y=x過(guò)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，試求直線(xiàn)l與橢圓C的方程.

解　 設(shè)橢圓C的方程為=1(a＞b＞0)，顯然，直線(xiàn)l的斜率存在且不為0，設(shè)l的方程為y=k(x-1)代入橢圓方程，整理得

(k²a²+b²)x²-2k²a²x+a²k²-a²b²=0.

因?yàn)橹本€(xiàn)l與C交于A、B兩點(diǎn)

∴Δ=4k⁴a⁴-4(a²k²-a²b²)(k²a²+b²)＞0.

即k²a²-k²+b²＞0,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

當(dāng)Δ＞0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l與橢圓C的交點(diǎn)為

A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，AB中點(diǎn)為M(x₀,y₀),則

x₀=(x₁+x₂)=

∴y₀=(y₁+y₂)= ［k(x₁-1)+k(x₂-1)］

=-.

∵M(jìn)(x₀,y₀)在直線(xiàn)y=x上，

∴-=·,

∴k=-.又=1-e²=1-=,

∴k=-=-1.

因此直線(xiàn)l的方程為y=-x+1.

∵a²=2b²，∴橢圓C的方程為=1，其右焦點(diǎn)為(b，0)，設(shè)(b，0)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=-x+1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x′,y′),

則.

因?yàn)辄c(diǎn)(1,1-b)在橢圓上.

∴1+2(1-b)²=2b²，解得b²=.

把b²=,a²=,k²=1代入①式，得Δ＞0.

∴b²=，a²=.

∴橢圓C的方程為=1,

直線(xiàn)l的方程為y=-x+1.

17.(14分)已知雙曲線(xiàn)=1的右焦點(diǎn)是F，右頂點(diǎn)是A,虛軸的上端點(diǎn)是B，·=6-4，∠BAF=150°.

(1)求雙曲線(xiàn)的方程；

(2)設(shè)Q是雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)F、Q的直線(xiàn)l與y軸交于點(diǎn)M，若+2=0，求直線(xiàn)l的斜率.

解　 (1)由條件知A(a,0),B(0,b),F(c,0)

·=(-a, b)·(c-a,0)=a(a-c)=6-4

=-=cos150°=-.

∴a=c,代入a(a-c)=6-4中得c=2.

∴a=,b²=c²-a²=2,故雙曲線(xiàn)的方程為.

(2)∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，0).

∴可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x-2),

令x=0，得y=-2k，即M(0,-2k)

設(shè)Q(m,n)，則由+2=0得

(m,n+2k)+2(2-m,-n)=(0,0).

即(4-m,2k-n)=(0,0).

即，∵.

∴=1，得k²=，k=±.

16.(14分)已知方程x²+y²-2x-4y+m=0.

(1)若此方程表示圓，求m的取值范圍；

(2)若(1)中的圓與直線(xiàn)x+2y-4=0相交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m；

(3)在(2)的條件下，求以MN為直徑的圓的方程.

解　 (1)(x-1)²+(y-2)²=5-m,∴m＜5.

(2)設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

則x₁=4-2y₁，x₂=4-2y₂，

則x₁x₂=16-8(y₁+y₂)+4y₁y₂

∵OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0

∴16-8(y₁+y₂)+5y₁y₂=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

由

得5y²-16y+m+8=0

∴y₁+y₂=,y₁y₂=,代入①得，m=.

(3)以MN為直徑的圓的方程為

(x-x₁)(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0

即x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0

∴所求圓的方程為x²+y²-x-y=0.

15.(14分)過(guò)點(diǎn)M(0，1)作直線(xiàn)，使它被直線(xiàn)l₁:x-3y+10=0和l₂:2x+y-8=0所截得的線(xiàn)段恰好被M平分，求此直線(xiàn)方程.

解　 方法一　 過(guò)點(diǎn)M且與x軸垂直的直線(xiàn)是y軸，它和兩已知直線(xiàn)的交點(diǎn)分別是和(0,8)，顯然不滿(mǎn)足中點(diǎn)是點(diǎn)

M(0，1)的條件.

故可設(shè)所求直線(xiàn)方程為y=kx+1,與已知兩直線(xiàn)l₁,l₂分別交于A、B兩點(diǎn)，聯(lián)立方程組

　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①解得x_A=,由②解得x_B=.　　　　　　　　　

∵點(diǎn)M平分線(xiàn)段AB，

∴x_A+x_B=2x_M，即+=0.

解得k=-，故所求直線(xiàn)方程為x+4y-4=0.

方法二　 設(shè)所求直線(xiàn)與已知直線(xiàn)l₁,l₂分別交于A、B兩點(diǎn).

∵點(diǎn)B在直線(xiàn)l₂:2x+y-8=0上，

故可設(shè)B(t,8-2t),M(0,1)是AB的中點(diǎn).

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得A(-t,2t-6).

∵A點(diǎn)在直線(xiàn)l₁:x-3y+10=0上，

∴(-t)-3(2t-6)+10=0，解得t=4.

∴B(4，0)，A(-4，2)，故所求直線(xiàn)方程為x+4y-4=0.

14.已知兩點(diǎn)A(1，0)，B(b,0)，若拋物線(xiàn)y²=4x上存在點(diǎn)C使△ABC為等邊三角形，則b=　　　　 .

答案　 5或-

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC頂點(diǎn)A(-4，0)和C(4，0)，頂點(diǎn)B在橢圓=1上，則=　　 .

答案　

12.已知F₁、F₂為橢圓=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F₁的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn).若|F₂A|+|F₂B|=12，則|AB|=　　　 .

答案　 8

11.(2009·東海高級(jí)中學(xué)高三調(diào)研)兩個(gè)正數(shù)m,n的等差中項(xiàng)是5，等比中項(xiàng)是4，若m＞n,則橢圓=1的離心率e的大小為　　　　　 .

答案