(1)內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

(2)正弦定理：(R為三角形外接圓的半徑).注意：

①正弦定理的一些變式：；

；；

② 已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解.

(3)余弦定理：等，常用余弦定理鑒定三角形形狀.

(4)面積公式：等等(其中為三角形內(nèi)切圓半徑).

(5)三角形中的射影公式：；； .

特別提醒：① 求解三角形中的問題時，一定要注意這個特殊性：；

② 求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問題時，常運用正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角互化。

3．三角恒等式的證明

證明三角恒等式的過程，實際上是化異為同的過程，即化去形式上的異，而呈現(xiàn)實質(zhì)上的同，這個過程，往往是從化簡開始的--這就是說，在證明三角恒等式時，我們可以從最復雜處開始．

例5　 求證 cosα(2secα+tgα)(secα-2tgα)=2cosα-3tgα．

分析　 從復雜的左邊開始證得右邊．

=2cosα-3tgα=右邊

例6　 證明恒等式

(1)1+3sin²αsec⁴α+tg⁶α=sec⁶α

(2)(sinA+ secA)³+(cosA+cscA)²=(1+secAcscA)²

分析　 (1)的左、右兩邊均較復雜，所以可以從左、右兩邊同時化簡

證明　 (1)右邊-左邊=sec⁶α-tg⁶α-3sin²αsec⁴α-1

=(sec²α-tg²α)(sec⁴α+sec²α·tg²α+tg²α)-3sin²αsec⁴α-1

=(sec⁴α-2sec²αtg²α+tg²α)-1

=(sec²α-tg²α)²-1=0

∴等式成立．

=sin²A+cos²A=1故原式成立

在解題時，要全面地理解“繁”與“簡”的關(guān)系．實際上，將不同的角化為同角，以減少角的數(shù)目，將不同的函數(shù)名稱，化為同名函數(shù)，以減少函數(shù)的種類，都是化繁為簡，以上兩點在三角變換中有著廣泛的應用．

分析1　 從右端向左端變形，將“切”化為“弦”，以減少函數(shù)的種類．

分析2　 由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)²，進而可以約分，達到化簡的目的．

說明　 (1)當題目中涉及多種名稱的函數(shù)時，常常將切、割化為弦(如解法1)，或?qū)⑾一癁榍?如解法2)以減少函數(shù)的種類．

(2)要熟悉公式的各種變形，以便迅速地找到解題的突破口，請看下列．

=secα+tgα

∴等式成立

說明　 以上證明中采用了“1的代換”的技巧，即將1用sec²α-tg²α代換，可是解題者怎么會想到這種代換的呢？很可能，解題者在采用這種代換時，已經(jīng)預見到代換后，分子可以因式分解，可以約分，而所有這一切都是建立在熟悉公式的各種變形的基礎(chǔ)上的，當然，對不熟練的解題者而言，還有如下的“一般證法”--即證明“左邊-右邊=0”

∴左邊=右邊

2．三角函數(shù)式的化簡

三角函數(shù)式的化簡的結(jié)果應滿足下述要求：

(1)函數(shù)種類盡可能地少．

(2)次數(shù)盡可能地低．

(3)項數(shù)盡可能地少．

(4)盡可能地不含分母．

(5)盡可能地將根號中的因式移到根號外面來．

化簡的總思路是：盡可能地化為同類函數(shù)再化簡．

例3　 化簡sin²α·tgα+cos²α·ctgα+2sinαcosα

=secα·cscα

解2　 原式=(sin²α·tgα+sinα·cosα)+(cos²α·ctgα+sinαcosα)

=tgα·(sin²α+cos²α)+ctgα(sin²α+cos²α)

=tgα+ctgα

=secα·cscα

說明　 (1)在解1中，將正切、余切化為正弦、余弦再化簡，仍然是循著減少函數(shù)種類的思路進行的．

(2)解2中的逆用公式將sinα·cosα用tgα表示，較為靈活，解1與解2相比，思路更自然，因而更實用．

例4　 化簡：

分析　 將被開方式配成完全平方式，脫去根號，進行化簡．

1．已知某角的一個三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值．

解　 ∵sinα＜0

∴角α在第三或第四象限(不可能在y軸的負半軸上)

(2)若α在第四象限，則

說明　 在解決此類問題時，要注意：

(1)盡可能地確定α所在的象限，以便確定三角函數(shù)值的符號．

(2)盡可能地避免使用平方關(guān)系(在一般情況下只要使用一次)．

(3)必要時進行討論．

例2　 已知sinα=m(|m|≤1)，求tgα的值．

(2)當m=±1時，α的終邊在y軸上，tgα無意義．

(3)當α在Ⅰ、Ⅳ象限時，∵cosα＞0．

當α在第Ⅱ、Ⅲ象限時，∵cosα＜0，

說明　 (1)在對角的范圍進行討論時，不可遺漏終邊在坐標軸上的情況．

(2)本題在進行討論時，為什么以cosα的符號作為分類的標準，而不按sinα的符號(即m的符號)來分類討論呢？你能找到這里的原因并概括出所用的技巧嗎？

22．如圖，已知平面平行于三棱錐的底面，等邊三角形所在平面與面垂直，且，設。

(1證明：為異面直線與的公垂線；

(2求點與平面的距離；

(3求二面角的大小。

高三第一輪復習訓練題

21． 　 如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD為直角梯形，

∠ABC=∠BAD=90°，.

　 (1)求證：平面PAC⊥平面PCD；

　 (2)在棱PD上是否存在一點E，使CE//平面PAB？

　　 若存在，請確定E點的位置；若不存在，請說明理由

20．如圖，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長AB＝2，側(cè)棱BB₁的長為4，過點B作B₁C的垂線交側(cè)棱CC₁于點E，交B₁C于點F，

⑴求證：A₁C⊥平面BDE；

⑵求A₁B與平面BDE所成角的正弦值。

19. 如圖6所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB = BC = 1，

BB₁ = 2，正是棱CC₁上的點，且

　 (1)求三棱錐C-BED的體積；

　 (2)求證：A₁C⊥平面BDE.

．

18．如圖，已知DA⊥平面ABE，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，

在△ABE中，AE=1，BE=

　 (1)證明：平面ADE⊥平面BCE；

　 (2)求二面角B-AC-E的余弦值。

17．如圖，在四棱錐中，平面，，，與平面所成角的大小是．

　 (1)求四棱錐的體積；

　　 (2)求異面直線與所成角的大�。�