3.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的最值的方法：

(1)求f(x)在給定區(qū)間內(nèi)的極值；

(2)將f(x)的各極值與端點(diǎn)值比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.

(3)如果開(kāi)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么必是最值點(diǎn)。

同步練習(xí)　 　11.4函數(shù)的單調(diào)性與極值 最值

　 [選擇題]

2.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟如下：

(1)求f(x)的定義域，求(x)；

(2)由(x)=0，求其穩(wěn)定點(diǎn)；

(3)檢查(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取極小值；如果左右同號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處不取極值.

注意：　 f^/(x)=0 是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x₀處取極值的必要不充分條件。.

1. 若f(x)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，則(x)>0f(x)為增函數(shù)((x)<0f(x)為減函數(shù)).

(1)若不是可導(dǎo)函數(shù)，上述必要性不成立；

(2)(x)≥0(≤0)且只在一些孤立的點(diǎn)處f^/(x)=0,則f(x)仍遞增(減)。

[例1]已知函數(shù)f(x)=2ax－,x∈(0,1］.

(1)若f(x)在x∈(0,1］上是增函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)求f(x)在區(qū)間(0,1］上的最大值.

分析:(1)要使f(x)在(0,1］上為增函數(shù)，需f′(x)＞0,x∈(0,1).

(2)利用函數(shù)的單調(diào)性求最大值.

解:(1)由已知可得f′(x)=2a+,∵f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，∴f′(x)＞0,即a＞－,　　 x∈(0,1］.∴a＞－1.

當(dāng)a=－1時(shí)，f′(x)=－2+對(duì)x∈(0,1)也有f′(x)＞0，滿足f(x)在(0,1］上為增函數(shù)，

∴a≥－1.

(2)由(1)知,當(dāng)a≥－1時(shí),f(x)在(0,1］上為增函數(shù),

∴［f(x)］_max=f(1)=2a－1.

當(dāng)a＜－1時(shí)，令f′(x)=0得x=,

∵0＜＜1,∴0＜x＜時(shí),f′(x)＞0; ＜x≤1時(shí)，f′(x)＜0.

∴f(x)在(0, )上是增函數(shù)，在(,1]減函數(shù).

∴［f(x)］_max=f ()=－3.

解法點(diǎn)評(píng):求參數(shù)的取值范圍，凡涉及函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題時(shí)，用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決較簡(jiǎn)單.

[例2] (2006天津) 已知函數(shù)，其中x∈R,θ為參數(shù)，且0≤θ<2π．

(1)當(dāng)時(shí)cosθ=0，判斷函數(shù)f(x)是否有極值；

(2)要使函數(shù)f(x)的極小值大于零，求參數(shù)θ的取值范圍；

(3)若對(duì)(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)θ，函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

解：(Ⅰ)當(dāng)cosθ=0時(shí)，f(x)=4x³，則f(x)在內(nèi)是增函數(shù)，故無(wú)極值.

(Ⅱ)f′(x)=12x²-6xcosθ，令f′(x)=0，得

由(Ⅰ)，只需分下面兩種情況討論.

①當(dāng)cosθ>0時(shí)，隨x的變化f′(x)的符號(hào)及f(x)的變化情況如下表：

x		0
f/(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

因此，函數(shù)f(x)在處取得極小值，且

要使，必有，可得

由于，故

②當(dāng)時(shí)cosθ<0，隨x的變化，f′(x)的符號(hào)及的變化情況如下表：

	+	0	－	0	+
		極大值		極小值

因此，函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值f(0)，且

若f(0) >0，則cosx>0。矛盾。所以當(dāng)cosx<0時(shí)，f(x)的極小值不會(huì)大于零。

綜上，要使函數(shù)f(x)在(－∞,+∞)內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)θ的取值范圍為。

(III)由(II)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間與內(nèi)都是增函數(shù)。

由題設(shè)，函數(shù)f(x)在(2a-1,a)內(nèi)是增函數(shù)，則a須滿足不等式組

　　　　 或 　　　　 　

由(II)，參數(shù)時(shí)時(shí)，。要使不等式關(guān)于參數(shù)恒成立，必有，即。

綜上，解得或。

所以的取值范圍是。

特別提示：對(duì)于求單調(diào)區(qū)間、極值、最值問(wèn)題，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)把定義區(qū)間分開(kāi)，列出表格，再分析各區(qū)間導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間、極值最值，清楚直觀不易出錯(cuò)。

[例3](2006福建) 統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為：(0<x≤20)已知甲、乙兩地相距100千米。

　　　 (I)當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？

　　　 (II)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

　　　 解：(I)當(dāng)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，

　　　 要耗油(升)。

　　　 答：當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升。

　　　 (II)當(dāng)速度為千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為升，

　　　 依題意得

　　　 令得

　　　 當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；

　　　 當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)。

　　　 當(dāng)時(shí)，取到極小值

　　　 因?yàn)?sub>在上只有一個(gè)極值，所以它是最小值。

　　　 答：當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。

考查知識(shí)：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

[例4](2006廣東)　 設(shè)函數(shù)分別在　 處取得極小值　 極大值　 平面上點(diǎn)A　 B的坐標(biāo)分別為　 ,該平面上動(dòng)點(diǎn)P滿足,點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)　 求(Ⅰ)點(diǎn)A　 B的坐標(biāo) ；

(Ⅱ)動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程

解: (Ⅰ)令解得

當(dāng)時(shí),, 當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí),

所以,函數(shù)在處取得極小值,在取得極大值,

故,

所以, 點(diǎn)A　 B的坐標(biāo)為　

(Ⅱ) 設(shè)，，PQ的中點(diǎn)在上，，

所以，

∴

∵

∴

∴

化簡(jiǎn)得

[研討.欣賞](2006遼寧)已知函數(shù)f(x)=,其中a , b , c是以d為公差的等差數(shù)列，且a＞0,d＞0．設(shè)x₀為f(x)的極小值點(diǎn),在［1-］上，f^/(x)在x₁處取得最大值，在x₂處取得最小值，將點(diǎn)(x₀,f(x₀))、(x₁,f^/(x₁))、(x₂,f(x₂))依次記為A， B， C

(I)求x₀的值

(II)若⊿ABC有一邊平行于x軸，且面積為，求a ,d的值

解(Ⅰ)：

令，得或　

當(dāng)時(shí)，，

所以在處取極小值，即.

(Ⅱ)法一：

∴的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸方程是，

，知

∴在上的最大值為，則，

又由，知

∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，即

，，

.

由△ABC有一條邊平行于x軸，得AC平行于x軸，所以

，即　　　　　　　　　　 �、�

又由△ABC的面積為，得

，

利用，得. �、凇　�

聯(lián)立①，②可得.

法二：.

由知在上的最大值為，即

由，知，

∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，即

，

.

由△ABC有一條邊平行于x軸，得AC平行于x軸，所以

－，即.　　　　　 �、�

又由△ABC的面積為，得

.

利用，得.　 　②

聯(lián)立①，②可得.　　 　

5. ； 6. 當(dāng)x∈(4,5)時(shí),恒有f′(x)＞0.答案:③

4.y′=－2, 當(dāng)0＜x＜時(shí)，y′＞0,為增函數(shù).

當(dāng)x＞時(shí)，y′＜0,是減函數(shù).∴x=時(shí)，y有最大值.

6.如果函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖所示,給出下列判斷:

①函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(－3,－)內(nèi)單調(diào)遞增;

②函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(－,3)內(nèi)單調(diào)遞減;

③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增;

④當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)y=f(x)有極小值;

⑤當(dāng)x=－時(shí),函數(shù)y=f(x)有極大值.

則上述判斷中正確的是_____________

簡(jiǎn)答:1－4.DDD；

5.(2006北京)已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是 　　　　　

4. 函數(shù)y=－2x(x≥0)的最大值為_(kāi)____________.

3．(2005全國(guó)Ⅰ)函數(shù)f(x)=x³+ax²+3x－9已知f(x)在x=－3時(shí)取得極值，則a=(　 　)

A．2　　　　　　　　　　　　 B．3　　　　　　　　　　　　 C．4　　　　　　　　　　　　 D．5