116．[2010·廣東省四月調(diào)研]已知定點A(0,－1)，點B在圓上運動，為圓心,線段AB的垂直平分線交BF于P．

(I)求動點P的軌跡的方程；若曲線被軌跡包圍著，求實數(shù)的最小值。

　 (II)已知、，動點在圓內(nèi)，且滿足，求的取值范圍．

解：(I)由題意得，∴

∴P點軌跡是以A、F為焦點的橢圓.設(shè)橢圓方程為 ，

則，∴點的軌跡方程為

曲線化為，

則曲線是圓心在，半徑為1的圓。而軌跡E：為焦點在Y軸上的橢圓，短軸上的頂點為結(jié)合它們的圖像知：若曲線被軌跡E包圍著，則，∴的最小值為 �！　　　　　　　　　　　�

(II))設(shè)，由得：，

化簡得，即 ，

　　　 而

∵點在圓內(nèi)，∴

∴，

∴，∴的取值范圍為．

115．[2010·巢湖市第一學(xué)期期末質(zhì)檢]已知橢圓的中心在原點，焦點在軸的非負(fù)半軸上，點到短軸端點的距離是4，橢圓上的點到焦點距離的最大值是6.

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；

(Ⅱ)若為焦點關(guān)于直線的對稱點，動點滿足，問是否存在一個定點，使到點的距離為定值？若存在，求出點的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由.

解：(Ⅰ)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得

.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 離心率

　(Ⅱ),設(shè)由得

化簡得，即

故存在一個定點，使到點的距離為定值，其定值為　

114．[2010·海淀一模]已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，左右焦點分別為，，且，點在橢圓上．

�、徘髾E圓的方程；

⑵過的直線與橢圓相交于、兩點，且的面積為，求以為圓心且與直線相切的圓的方程．

解：⑴設(shè)橢圓的方程為，由題意可得：橢圓兩焦點坐標(biāo)分別為，．∴．∴，又，，故橢圓的方程為．

⑵當(dāng)直線軸，計算得到：，，，不符合題意．當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為：，由，消去y得．顯然成立，設(shè)，，則，．

又

即，又圓的半徑．

所以，

化簡，得，即，解得．所以，．

故圓的方程為：．

⑵另解：設(shè)直線的方程為，由，消去得，恒成立，設(shè)，，則，．

所以．

又圓的半徑為．

所以，解得，

所以．故圓的方程為：．

113．[2010·湖南師大附中第二次月]已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，P(2，0)為定點．

(Ⅰ)若點P為拋物線的焦點，求拋物線C的方程；

(Ⅱ)若動圓M過點P，且圓心M在拋物線C上運動，點A、B是圓M與軸的兩交點，試推斷是否存在一條拋物線C，使|AB|為定值？若存在，求這個定值；若不存在，說明理由．

解：(Ⅰ) 設(shè)拋物線方程為，則拋物線的焦點坐標(biāo)為.由已知，，即，故拋物線C的方程是．　　　　 　　　　　　　

(Ⅱ)設(shè)圓心()，點A，B. 因為圓過點P(2，0)，則可設(shè)圓M的方程為.　 令，得.則，. 所以.　 ，設(shè)拋物線C的方程為，因為圓心M在拋物線C上，則. 所以. 由此可得，當(dāng)時，為定值．故存在一條拋物線，使|AB|為定值4.　

112．[2010·石家莊市質(zhì)檢(二)]已知拋物線方程x²=4y，過點(t，－4)作拋物線的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B．　

(I)求證直線AB過定點(0，4)；

　(II)求OAB(O為坐標(biāo)原點)面積的最小值．

解：(Ⅰ)設(shè)切點為 又　 ，　 則切線的方程為： ,　 即,　　 切線的方程為：即,由(t,―4)是、交點可知： ， ，　　　 ∴過A、B的直線方程為，　　　 即,　　 所以直線過定點(0，4)．

　 (Ⅱ)由 ,得 ．則,　　 因為　 ＝，當(dāng)且僅當(dāng)t＝0時，

111．[2010·福建漳州一中年五月質(zhì)檢]已知橢圓，直線l與橢圓交于A、B兩點，M是線段AB的中點，連接OM并延長交橢圓于點C．直線AB與直線OM的斜率分別為k、m，且．

　 (Ⅰ)求的值；

　 (Ⅱ)若直線AB經(jīng)過橢圓的右焦點F，問：對于任意給定的不等于零的實數(shù)k，是否存在a∈[2，+∞]，使得四邊形OACB是平行四邊形，請證明你的結(jié)論。

解：(Ⅰ)解法一：設(shè)，,，則，

兩式相減，得：_，又，，

∴，

又∵，∴，∴

解法二：設(shè)直線AB的方程為y=kx+n，代入橢圓方程得 ，設(shè)，,，則，∴，，

∴，又∴，∴

(Ⅱ)設(shè)C(x_C，y_C)，直線AB的方程為y=k(x-c)(k≠0)，代入橢圓方程，得 ，若OACB是平行四邊形，則 ，∴，_，∵C在橢圓上 ∴ ∴_，∴ ，∴ ∴ ，∵ ，a∈[2，+∞] ，∴ ，∴且_，∴當(dāng)且時，存在a∈[2，+∞]，使得四邊形OACB是平行四邊形；當(dāng)或時，不存在a∈[2，+∞]，使得四邊形OACB是平行四邊形。

110．[2010·北京海淀第二學(xué)期期中練習(xí)]已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在軸上，離心率為，且點在該橢圓上.　

(I)求橢圓C的方程；　

(II)過橢圓C的左焦點的直線與橢圓C相交于A，B兩點，若的面積為，求圓心在原點O且與直線l相切的圓的方程.

解：(I)設(shè)橢圓C的方程為，由題意可得，

又，因為橢圓C經(jīng)過，代入橢圓方程有，解得，所以故橢圓C的方程為

　 (II)解法一：　　 當(dāng)直線l軸時，計算得到：

，不符合題意。當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為：，由

顯然，則

又

=　　

即,又圓O的半徑

所以

化簡，得

解得(舍),所以，故圓O的方程為：

　 (II)解法二：設(shè)直線的方程為，

由,因為，

則　

所以

所以,

化簡得到，解得(舍),

又圓O的半徑為 ,所以，故圓O的方程為：;

109．[2010·江西省重點中學(xué)]第二次聯(lián)考]已知動圓P過點并且與圓相外切，動圓圓心P的軌跡為W，過點N的直線與軌跡W交于A、B兩點。

(1)求軌跡W的方程；

(2)若，求直線的方程；

(3)對于的任意一確定的位置，在直線上是否存在一點Q，使得，并說明理由。

解：(1)依題意可知　 ∴，∴點P的軌跡W是以M、N為焦點的雙曲線的右支，設(shè)其方程為　　 則　 ∴，∴軌跡W的方程為

　 (2)當(dāng)的斜率不存在時，顯然不滿足，故的斜率存在，設(shè)的方程為，由得，又設(shè)，則

由①②③解得，∵　 ∴

∴　 代入①②得，

消去得，即，故所求直線的方程為：；

(3)問題等價于判斷以AB為直徑的圓是否與直線有公共點

若直線的斜率不存在，則以AB為直徑的圓為，可知其與直線相交；若直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為，

由(2)知且，又為雙曲線的右焦點，雙曲線的離心率e=2，則

設(shè)以AB為直徑的圓的圓心為S，點S到直徑的距離為d，則

∴

∵　 ∴ 即，即直線與圓S相交。綜上所述，以線段AB為直徑的圓與直線相交；

故對于的任意一確定的位置，與直線上存在一點Q(實際上存在兩點)使得

108．[2010·巢湖市第一學(xué)期期末質(zhì)檢]已知橢圓的中心在原點，焦點在軸的非負(fù)半軸上，點到短軸端點的距離是4，橢圓上的點到焦點距離的最大值是6.

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；

(Ⅱ)若為焦點關(guān)于直線的對稱點，動點滿足，問是否存在一個定點，使到點的距離為定值？若存在，求出點的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由.

解： (Ⅰ)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得

.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 離心率

　(Ⅱ),設(shè)由得

化簡得，即

故存在一個定點，使到點的距離為定值，其定值為　

107. [2010 •福建理數(shù)]已知中心在坐標(biāo)原點O的橢圓C經(jīng)過點A(2，3)，且點F(2，0)為其右焦點。

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在平行于OA的直線，使得直線與橢圓C有公共點，且直線OA與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由。

解：(1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為，且可知左焦點為