2.二面角的平面角的定義、作法.　

1.二面角的定義、畫法.　

3．設(shè)在平面內(nèi)的射影是直角三角形的斜邊的中點，，求(1)與平面所成角的大小；(2)二面角的大小；(3)異面直線和的大小

解：(1)∵面　 ∴

∴為與面所成角

∵　 ∴

∴ ∴

∴

即與平面所成角的大小為

(2)取中點，連接　 ∴

∵　　　　 ∴

又∵面　 ∴

∴為二面角的平面角

又∵

∵　 ∴　　 ∴

即二面角的大小為

(3)取的中點，連接，則

∴與所成的銳角或直角即為異面直線和所成角

易求得

即異面直線和所成角為

1?如圖所示，已知面，，二面角的平面角為，

求證：

證明：過作的垂線，垂足為，連接

∵平面，平面，

∴

∴為二面角的平面角，

即

∵面　 ∴

∵是直角三角形　 ∴

又∵

∴　 ∴即

說明：這是推廣的射影定理，也是求二面角平面角的一種方法

2．如圖，在空間四邊形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角為直二面角，求二面角的大小

解：過作于

∵二面角為直二面角　 ∴面

取中點，為中點，連接

∵　 ∴

∴　 ∴

∴為二面角的平面角

令，則

∴　 ∴在中

∴

即二面角的大小為

例1 在正四面體中，求相鄰兩個平面所成的二面角的平面角的大小

解：取的中點，連接，

∵正四面體，∴于，

∴為二面角的平面角，

方法一：設(shè)正四面體的棱長為1，

則，由余弦定理得

方法二：(向量運算)令，，棱長為1，

∵，

又∵，∴

即相鄰兩個平面所成的二面角的平面角的大小為．

例2．在棱長為1的正方體中，

(1)求二面角的大��；

(2)求平面與底面所成二面角的平面角大小

解：(1)取中點，連接，

∵正方體，∴，

∴即為二面角的平面角，

在中，，

可以求得即二面角的大小為．

(2)過作于點，

∵正方體，∴平面，

∴為平面與平面所成二面角的平面角，

可以求得：

所以，平面與底面所成二面角的平面角大小為．

說明：求二面角的步驟：作--證--算--答

例3．已知：二面角且到平面的距離為，到的距離為，求二面角的大小

解：作于點，平面于點，連接，

∵于點，于點，

∴，∴即為二面角的平面角，

易知，，

∴即二面角的大小為．

說明：利用三垂線定理作二面角的平面角是解決二面角問題中一種重要的方法，其特征是其中一個平面內(nèi)一點作另一個平面的垂線則已經(jīng)有三種作二面角的平面角的方法，即：定義法、垂面法、三垂線法

例4．如圖，平面，，若，求二面角的正弦值

分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角

解：過作于，過作交于，連結(jié)，

則垂直于平面，為二面角的平面角，

∴，

又平面，

∴，，

∴平面，

∴，，

又∵，，

∴平面，∴，

設(shè)，則，

在中，

，∴，

同理，中，， ∴，

所以，二面角的正弦值為．

1 二面角的概念：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面若棱為，兩個面分別為的二面角記為；二面角的圖形表示：

第一種是臥式法，也稱為平臥式：

第二種是立式法，也稱為直立式：

2．二面角的平面角：

　 (1)過二面角的棱上的一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的兩條垂線，則叫做二面角的平面角

(2)一個平面垂直于二面角的棱，且與兩半平面交線分別為為垂足，則也是的平面角

說明：(1)二面角的平面角范圍是；

(2)二面角的平面角為直角時，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個平面互相垂直

4．公式：已知平面a的斜線a與a內(nèi)一直線b相交成θ角，且a與a相交成j₁角，a在a上的射影c與b相交成j₂角，則有.

3．直線和平面所成角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角

一直線垂直于平面，所成的角是直角

一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0°角.

直線和平面所成角范圍： [0，]

(2)定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角

1 斜線,垂線,射影

⑴垂線　 自一點向平面引垂線,垂足叫這點在這個平面上的射影. 這個點和垂足間的線段叫做這點到這個平面的垂線段.

⑵斜線　 一條直線和一個平面相交,但不和這個平面垂直,這條直線叫做這個平面的斜線斜線和平面的交點叫斜足；斜線上一點與斜足間的線段叫這點到這個平面的斜線段

⑶射影 　過斜線上斜足外的一點向平面引垂線,過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內(nèi)的射影垂足和斜足間線段叫這點到這個平面的斜線段在這個平面內(nèi)的射影

直線與平面平行，直線在平面由射影是一條直線直線與平面垂直射影是點斜線任一點在平面內(nèi)的射影一定在斜線的射影上

2．射影長相等定理:從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線中

⑴射影相交兩條斜線相交；射影較長的斜線段也較長

⑵相等的斜線段射影相等，較長的斜線段射影較長

⑶垂線段比任何一條斜線段都短

⑴OB=OCÞAB=AC　 OB>OCÞAB>AC

⑵AB=ACÞOB=OC　 AB>ACÞOB>OC

⑶OA<AB，OA<AC

16、下列各項說法中對原文意思的分析和推斷有誤的兩項是(　　 )

A、現(xiàn)實生活中的霍貝瑪窮愁潦倒，但作品里始終有光明和溫暖，說明他的靈魂世界是遼遠(yuǎn)堅韌的，這也是打動作者使作者想要追隨他的原因之一。

B、霍貝瑪如果知道在他后面還有凡·高這個降生在同一國度的天才也將同他一樣窮愁潦倒，他一定不會中斷他的風(fēng)景畫創(chuàng)作。

C、霍貝瑪這種生前受到否定和排斥，死后較長時間才被接受的遭遇并非絕無僅有，這說明真正偉大的藝術(shù)家往往超越他所處的時代。

D、文章多用絢麗的比喻，比如用特征迥異的日、月、星來形容黑屋里的燈，進(jìn)而比喻霍貝瑪?shù)撵`魂，既妥帖得體，又抒發(fā)了熱烈的贊美之情。

E、文章以欣賞霍貝瑪?shù)淖髌窞榫€索，細(xì)致深刻的表達(dá)了作者對霍貝瑪作品的喜愛之情，并由此聯(lián)想到自己的故鄉(xiāng)，說明真正的藝術(shù)沒有國界。

讀讀背背

念奴嬌　 春情

李清照

蕭條庭院，又斜風(fēng)細(xì)雨，重門須閉。寵柳嬌花寒食近，種種惱人天氣。險韻詩成①，扶頭酒醒②，別是閑滋味。征鴻過盡，萬千心事難寄。

樓上幾日春寒，簾垂四面，玉闌干慵倚③。被冷香消新夢覺④，不許愁人不起。清露晨流，新桐初引⑤，多少游春意。日高煙斂，更看今日晴未。

　　　 ［注釋］

　　　 ①險韻：以生僻字協(xié)韻寫詩填詞。

　　 �、诜鲱^酒：能讓人精神振作的好酒，飲多則易醉。一說“扶頭”為酒名。

　　　 ③玉闌干：白石欄桿。

　　　 ④香消：香爐中的香已燒盡。

　　　 ⑤清露晨流，新桐初引：出自《世說新語·賞譽(yù)》。初引：葉初長。

[賞析]這是一首懷人之作。它敘寫了寒食節(jié)時對丈夫的懷念。開頭三句寫環(huán)境氣候，景色蕭條。柳、花而用“寵”、“嬌”修飾，隱有妒春之意。接著寫作詩填詞醉酒，但閑愁卻無法排解，已有萬般怨尤。一句“征鴻過盡，萬千心事難寄”，道出詞人閑愁的原因：自己思念遠(yuǎn)行的丈夫，“萬千心事”卻無法捎寄。下闋開頭三句，寫出詞人懶倚欄桿的愁悶情志，又寫出她獨宿春閨的種種感覺。“不許愁人不起”，寫出作者已失去支撐生活的樂趣。“清露”兩句轉(zhuǎn)寫新春的可愛，因之產(chǎn)生游春心思。結(jié)尾兩句最為佳妙：天已放晴，卻擔(dān)心是否真晴，那種心有余悸的感覺，表現(xiàn)得極為凄迷。