3.圓錐曲線的統(tǒng)一定義

平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線l的距離之比是一個(gè)常數(shù)e(e＞0),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線.

其中定點(diǎn)F(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù)e稱為離心率.

當(dāng)0＜e＜1時(shí)，軌跡為橢圓

當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線

當(dāng)e＞1時(shí)，軌跡為雙曲線

2.點(diǎn)與曲線的關(guān)系　 若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點(diǎn)P₀(x₀,y₀)在曲線C上f(x₀,y₀)=0；

點(diǎn)P₀(x₀,y₀)不在曲線C上f(x₀,y₀)≠0兩條曲線的交點(diǎn)　 若曲線C₁，C₂的方程分別為f₁(x,y)=0,f₂(x,y)=0,則點(diǎn)P₀(x₀,y₀)是C₁，C₂的交點(diǎn)

方程組有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有n個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒有實(shí)數(shù)解，曲線就沒有交點(diǎn).

1.方程的曲線

在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡 )上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：

(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；

(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.

9．設(shè)曲線C的方程是y＝x³-x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動(dòng)t,s單 位長(zhǎng)度后得曲線C₁.

　(1)寫出曲線C₁的方程；

　(2)證明曲線C與C₁關(guān)于點(diǎn)A()對(duì)稱；

(3)如果曲線C與C1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明s＝且t≠0.

§7.4軌跡問題

5． 如圖，過拋物線y²=4x的頂點(diǎn)O作任意兩條互相垂直的弦OM、ON，求(1)MN與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求MN中點(diǎn)的軌跡方程.

4． 設(shè)過原點(diǎn)的直線l與拋物線y²=4(x－1)交于A、B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓恰好過拋物線的焦點(diǎn)F，

　　 (1)求直線l的方程；

　　 (2)求|AB|的長(zhǎng).

3．

試求m的取值范圍.

2.直線m：y=kx+1和雙曲線x²－y²=1的左支交于A、B兩點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P(－2，0)和線段AB的中點(diǎn)，則直線l在y軸上的截距b的取值范圍為　　　　　　

1．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線被直線l：y=2x+1截得的弦長(zhǎng)為，則拋物線方程為　　　　　

[例1]求過點(diǎn)的直線，使它與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn).

錯(cuò)解： 設(shè)所求的過點(diǎn)的直線為，則它與拋物線的交點(diǎn)為

，消去得整理得　

直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，解得所求直線為

正解： �、佼�(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，即直線垂直軸，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以即軸，它正好與拋物線相切.②當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為y = 1平行軸，它正好與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn).③一般地，設(shè)所求的過點(diǎn)的直線為,則，

令解得k = ,∴ 所求直線為

綜上，滿足條件的直線為：

[例2]已知曲線C：與直線L：僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的范圍.

錯(cuò)解：曲線C：可化為①，聯(lián)立，得：

，由Δ＝0,得.

錯(cuò)因：方程①與原方程并不等價(jià)，應(yīng)加上.

正解：原方程的對(duì)應(yīng)曲線應(yīng)為橢圓的上半部分.(如圖)，結(jié)合圖形易求得m的范圍為.

注意：在將方程變形時(shí)應(yīng)時(shí)時(shí)注意范圍的變化，這樣才不會(huì)出錯(cuò).

[例3]已知雙曲線，過P(1,1)能否作一條直線L與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，且P為AB中點(diǎn).

錯(cuò)解：(1)過點(diǎn)P且與x軸垂直的直線顯然不符合要求.

(2)設(shè)過P的直線方程為，代入并整理得：

∴，又∵ ∴

解之得：k=2，故直線方程為：y=2x-1,即直線是存在的.

正解：接以上過程，考慮隱含條件“Δ>0”，當(dāng)k=2時(shí)代入方程可知Δ<0，故這樣的直線不存在.

[例4]已知A、B是圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，CD是垂直于AB的動(dòng)弦，直線AC和DB相交于點(diǎn)P，問是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F, 使 | | PE |－| PF | | 為定值？若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解：由已知得 A (－1, 0 )、B ( 1, 0 ),

　 設(shè) P ( x, y ),　 C ( ) ,　 則 D (),

　 由A、C、P三點(diǎn)共線得　 　�、�

　 由D、B、P三點(diǎn)共線得　 　　②

①×② 得　 　　　　　�、�

又 ,　 ∴，　 代入③得 ，

即點(diǎn)P在雙曲線上， 故由雙曲線定義知，存在兩個(gè)定點(diǎn)E (－, 0 )、

F (, 0 )(即此雙曲線的焦點(diǎn))，使 | | PE |－| PF | | = 2　 (即此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為定值).

[例5]已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1 與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，｜PQ｜=，求橢圓的方程.

解：設(shè)所求橢圓的方程為=1.

　依題意知，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)滿足方程組：

　將②代入①，整理得

　　　 ，　　　　　　　　　 ③

設(shè)方程③的兩個(gè)根分別為、，則直線y=x+1和橢圓的交點(diǎn)為

P(,+1)，Q(,+1)

　由題設(shè)OP⊥OQ，｜OP｜=，可得

　整理得

　解這個(gè)方程組，得

　 或 　

　根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由③式得

　　 (1)　 或　 (2)

　解方程組(1)、(2)得

　　 　 或

　故所求橢圓方程為

　=1 ，　 或 =1.

[例6]已知橢圓C₁：＝1，拋物線C₂：，且C₁、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點(diǎn)。(1)當(dāng)AB⊥軸時(shí)，求、的值，并判斷拋物線C₂的焦點(diǎn)是否在直線AB上；(2)若＝，且拋物線C₂的焦點(diǎn)在直線AB上，求的值及直線AB的方程.

解：(1)當(dāng)AB⊥軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于軸對(duì)稱，所以＝0，直線AB的方程為＝1，

　從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，)或(1，－)，

　因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以，＝.

　此時(shí)，拋物線C₂的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，該焦點(diǎn)不在直線AB上.

　(2)當(dāng)拋物線C₂的焦點(diǎn)在直線AB上時(shí)，由(1)知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為　.

　由消去得　�、�

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為　()、().

則，是方程①的兩根，+＝.

因?yàn)锳B既是過C₁的右焦點(diǎn)的弦，又是C₂的焦點(diǎn)的弦，

所以｜AB｜＝(2－)+(2－)＝4－，且

｜AB｜＝()+()＝＝.

從而＝4－

所以，即

解得.

因?yàn)镃₂的焦點(diǎn)F^、()在直線上，所以，

即

當(dāng)時(shí)直線AB的方程為；

當(dāng)時(shí)直線AB的方程為.