4.設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為p，進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)p=________時(shí)，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大，其最大值為________.
3.設(shè)ξ是隨機(jī)變量,a、b是非零常數(shù),則下列等式中正確的是 ( )
A.D(aξ+b)=a2Dξ+b B.E(aξ)=a2Eξ
C.D(aξ)=a2Dξ D.E(aξ+b)=aξ
[填空題]
4.二項(xiàng)分布的期望與方差：若ξ-B(n，p)，則Eξ=np，Dξ=np(1－p).
同步練習(xí) 10.9離散型隨機(jī)變量的期望與方差
[選擇題]
1.下面說(shuō)法中正確的是 ( )
A.離散型隨機(jī)變量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值。
B.離散型隨機(jī)變量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平。
C.離散型隨機(jī)變量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平。
D.離散型隨機(jī)變量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值。
2.
是x1，x2，…，x100的平均數(shù)，a是x1，x2，…，x40的平均數(shù)，b是x41，x42，…，x100的平均數(shù)，則下列各式正確的是 ( )
A.=
B.=
C.
=a+b D
=
3.離散型隨機(jī)變量的期望和方差的計(jì)算公式與運(yùn)算性質(zhì)：
2.求期望與方差.首先應(yīng)先求出分布列，再代公式求期望與方差.
1.離散型隨機(jī)變量的期望和方差的意義.
[例1] (1)一枚骰子的六個(gè)面上標(biāo)有1、2、3、4、5、6，投擲一次，向上面的點(diǎn)數(shù)為ξ,求Eξ、E(2ξ+3)和Dξ。
(2) 若隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=k)= 
(k=1，2，3，…，n)，求Eξ和Dξ。
(3)一次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)由50道選擇題構(gòu)成，每道有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)是正確的，每個(gè)選對(duì)得3分，選錯(cuò)或不選均不得分，滿分150分，某學(xué)生選對(duì)每一道題的概率為0.7，求該生在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望與方差。
解：(1)Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+…+x6P6=1×
+2×+3×+…+6×=3.5
E(2ξ+3)=2Eξ+3=10
Dξ=(x1-Eξ)2P1+(x2-Eξ)2P2+…+(x6-Eξ)2P6
=[(1-3.5)2+(2-3.5)2+…(6-3.5)2]=17.5×=2.92
(2) Eξ=(1+2+…+n)=
Dξ=Eξ2-(Eξ)2=(n2-1)
(3)設(shè)ξ為該生選對(duì)試題個(gè)數(shù)，η為成績(jī)。則ξ-B(50，0.7)，η=3ξ
∴Eξ=50×0.7=35；Dξ=50×0.7×0.3=10.5
故Eη=E(3ξ)=3Eξ=105
Dη=D(3ξ)=9Dξ=94.5
[例2](2006年安徽)在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對(duì)各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時(shí)，需要選用兩種不同的添加劑，現(xiàn)有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)學(xué)原理，通常首先要隨機(jī)選取兩種不同的添加劑進(jìn)行搭配試驗(yàn)。用ξ表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和，
(Ⅰ)寫出ξ的分布列；(以列表的形式給出結(jié)論，不必寫計(jì)算過(guò)程).
(Ⅱ)求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ.(要求寫出計(jì)算過(guò)程或說(shuō)明道理).
解：(I)ξ的分布列為
|
ξ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
P |
 |
|
 |
|
 |
|
|
|
|
(II)由ξ的定義得
.
[例3](2006山東)袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，每個(gè)小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求：
(1)取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；
(2)隨機(jī)變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望；
(3)計(jì)分介于20分到40分之間的概率。
解：(I)解法一：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為
，
則
解法二：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A”，“一次取出的3個(gè)小球上有兩個(gè)數(shù)字相同”的事件記為B，則事件A和事件B是互斥事件，因?yàn)?sub>
, 所以
.
(II)由題意ξ有可能的取值為：2，3，4，5.
所以隨機(jī)變量
的概率分布為
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
 |
 |
|
 |
 |
因此的數(shù)學(xué)期望為
(Ⅲ)“一次取球所得計(jì)分介于20分到40分之間”的事件記為
，則
[例4](2006全國(guó)Ⅱ)某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件。一用戶在購(gòu)進(jìn)該批產(chǎn)品前先取出3箱，再?gòu)拿肯渲腥我獬槿?件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)。設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品。
(Ⅰ)用ξ表示抽檢的6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求ξ的分布列及ξ的數(shù)學(xué)期望；
(Ⅱ)若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購(gòu)買這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品給用戶拒絕購(gòu)買的概率。
解：(I)ξ可能的取值為0，1，2，3.
，
，
，
.
ξ的分布列為
|
ξ |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
 |
 |
 |
 |
數(shù)學(xué)期望為Eξ=1.2.
(II)所求的概率為
[研討.欣賞](2006遼寧)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，對(duì)甲項(xiàng)目每投資十萬(wàn)元，一年后利潤(rùn)是1.2萬(wàn)元、1.18萬(wàn)元、1.17萬(wàn)元的概率分別為
、
、
;已知乙項(xiàng)目的利潤(rùn)與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān),在每次調(diào)整中價(jià)格下降的概率都是
,設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整,記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為ξ,對(duì)乙項(xiàng)目每投資十萬(wàn)元, ξ取0、1、2時(shí), 一年后相應(yīng)利潤(rùn)是1.3萬(wàn)元、1.25萬(wàn)元、0.2萬(wàn)元.隨機(jī)變量ξ1、ξ2分別表示對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬(wàn)元一年后的利潤(rùn).
(I)求ξ1、ξ2的概率分布和數(shù)學(xué)期望Eξ1、Eξ2;
(II)當(dāng)Eξ1<Eξ2時(shí),求
的取值范圍.
解(I)法一：ξ1的概率分布為
|
ξ1 |
1.2 |
1.18 |
1.17 |
|
P |
|
|
|
由題設(shè)的ξ－B(2,p)，即ξ的概率分布為
|
ξ |
0 |
1 |
2 |
|
P |
 |
 |
 |
故ξ2的概率分布為
|
ξ2 |
1.3 |
1.25 |
0.2 |
|
P |
|
|
|
所以ξ2的數(shù)學(xué)期望為
解法二：ξ1的概率分布為
|
ξ1 |
1.2 |
1.18 |
1.17 |
|
P |
|
|
|
設(shè)
表示事件“第 i 次調(diào)整，價(jià)格下降”(i=1,2)，則
故ξ2的概率分布為
|
ξ2 |
1.3 |
1.25 |
0.2 |
|
P |
(1-p)2 |
2p(1-p) |
P2 |
所以ξ2的數(shù)學(xué)
(II)解：由
，得
，
整理得
，
解得
。
因?yàn)?sub>
，所以，當(dāng)時(shí)，得取值范圍是
。
6.包裝的重量的平均水平一樣,甲機(jī)包裝重量的差別大，不穩(wěn)定,答案：乙
4.
; 5.
得
,∴ 
.
3. P(ξ=0)=0.43，P(ξ=1)=0.6×0.42，P(ξ=2)=0.6×0.4，P(ξ=3)=0.6，Eξ=2.376;
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